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https://i.imgur.com/iwMQJgE.jpg
有两个问题
1.
想问(3) → (1) 的意义
因为
Ax=b 有解 (包含唯一解和无限多组解) => A可逆
这条件其实蛮强的耶
ans:其实我们还有一个 for all b∈F^(n*1) 协助限缩
假设今天
Ax=b 有无限多组解 => A可逆
也符合上述命题逻辑呀，可是不对呀，这从RANK就可以证错误了
(无限多组解可将一列化为0列，有0列无法形成单位矩阵)
ans:这样解释这个命题是错的，无限多组解的状况不会符合这个命题的充分条件，
因为无限多组解可以找到一个b'使得Ax=b'变成无解，此时不符合
for any b∈F^(n*1), Ax=b有解，自然不能推论A可逆
其实可以从同等命题下去看
A不可逆 => Ax=b 无解 (X)
因为Ax = b 具无限多组解 也是不可逆
ans:这命题其实跟书上不同，书上的同等命题应该是
A不可逆 => ∃b∈F^(n*1), Ax=b 无解

它(2)跟(3)的b不是特定的b，是对所有的F^(n*1)都有解以你的第一个问题来说，那个0列对应的向量元素不是0就变成无解了，也就是存在无解的向量，所以不可逆从第二个问题，我看你应该是弄错什么叫有解了

对呀 所以这样才不合理呀 如果b使得x为无限多组解

有解指的是对这个b来说，存在x使得Ax=b，未知的不是b

这样A必然为不可逆呀，可是却也符合充分条件的“有解”

问题就是你能找到对那个A来说无解的b啊所以代表不是所有的b都有解，前提就错了

摁摁 所以我的疑问在于 书上说 (1)(3)等价 这件事示不是错的

没有错啊，是你的逻辑错了就像你第二个问题，对所有b都成立，所以对特定b也成立这是很正常的推论，没有错误因为它就是在找反矩阵出来而已

这推论我能理解，我卡住的是有解不一定是特解呀，为什么从特解推得A可逆，这样能说明有解就一定可逆。

是“对所有的b都有解”，不要少掉这句话他不是由什么特解推得A可逆，是因为对所有b都有解才能推到A可逆 不要讲什么特解...

那么对所有的b都有解，Ax=b有无限多组解 => A可逆

我就是跟你说，如果Ax=b会有无限多解，那就代表你一定

该怎么说明呢? 因为无限多组解我们可以 把A 和 b的同列

找得到另一个b'使得Ax=b'是无解

既然你有无解的b了，那就没有A可逆了啊

然后b'要做什么事呢?这部分容我思考一下逻辑QQ

什么做什么事，啊不就没有for any b∈F^(n*1)了...

哦哦!!!! I got it 感谢解惑 QQ原来你指的前提不符是 b' 不符合 for any b∈F^(n*1)一直没注意到这点QQ 难怪绕不出来

我说的前提不符主要是在讲你1那边推论箭头的左边我一直强调是对所有的b，因为你每个推论前提都没写这点你可以再想一下，你在1所说的同等命题应该写成什么样子

我原本不把for all b∈F^(n*1)当做很重要的条件，以为他只是要描述b这个vector的型态而已，不知道for all的用处XD" 不过你举出b'我就恍然大悟为什么要for all了

推 在自己重新证明的时候也觉得怪怪的 搞懂了

兄弟你想太多了2跟3等价就代表若有解是唯一解所以你想太多不会是无限多解简单回答你 见笑了

3->2的证明就是Ricestone大大说的b'呀，当初没想通这个方法所以才会纳闷呀。