[理工] 105成大线代是非题
楼主: q5332159 (chiu) 2019-02-21 10:55:05
想和大家对对这题的答案～
另外想问e要怎么证或举反例
谢谢大家～～
作者: xydream (悠祺) 2019-02-21 11:02:00
正定->特征值皆大于0->行列式值不为0
楼主: q5332159 (chiu) 2019-02-21 11:12:00
啊啊我主要是想知道最后一句A^-1 is also symmetric positive definite那边 抱歉没讲清楚
作者: Ricestone (麦饭石) 2019-02-21 11:21:00
如果A^-1有负的特征值，则A^-1v=λv -> (1/λ)v=Av亦即A也有负的特征值，所以矛盾
楼主: q5332159 (chiu) 2019-02-21 11:56:00
不会有x不属于A^-1任何eigenvalue的eiganspace且x^HAx<0的可能吗
作者: Ricestone (麦饭石) 2019-02-21 12:04:00
看不太懂你的疑问，我的前提是A已经正定
作者: Rioronja (想show干话组) 2019-02-21 12:30:00
你可能要把正定的若且唯若条件放上去看你会比较清楚如果一个实矩阵正定 <=> for all 特征根值>0因为Ａ矩阵是正定，所以他的特征根值全部>0，又A^-1的特征根是原本矩阵的特征根的倒数，而任意>0的实数倒数之后仍是>0的实数，所以A^-1必定也是正定，至于对称就用你上面写的就足够证明了
楼主: q5332159 (chiu) 2019-02-21 12:37:00
我是想说令A:V→V 如果A无法对角化 那就没有n个LI的eigenvector 那这些eiganspace就无法形成V的直和 但是彼此又是独立子空间 所以感觉会有一部分x属于V但是不属于任何一个eiganspace 这些x便不会对应到任何eigenvalue也就无法保证x^HAx会>0 不知道这样想哪里有盲点…啊…自己想通了 不会有这种情况因为可正交对角化@@
作者: Rioronja (想show干话组) 2019-02-21 12:43:00
可是a是对称矩阵 必可以对角化啊
作者: Ricestone (麦饭石) 2019-02-21 12:46:00
证明跟所有特征值皆大于零等价的时候这些性质都有用到另外你的叙述是有问题的，两个不同的eigenspace各取一个向量加起来得到的向量不会属于这两个space之一个虽然是可以知道你想表达的意思啦...
楼主: q5332159 (chiu) 2019-02-21 13:06:00
楼上的意思是说2个向量加起来得到的向量不会属于这两个space之一 但这个向量仍会x^HAx>0 所以有没有在eiganspace不会影响他是否>0吗
作者: Rioronja (想show干话组) 2019-02-21 14:00:00
https://i.imgur.com/YXMbnS8.jpg这样推不知道有没有错
作者: samuel30214 (小强) 2019-02-21 14:08:00
因为这些eigenspace形成direct sum所以不管挑哪个都会满足正定只是挑出来的不一定属于某个eigenspace
楼主: q5332159 (chiu) 2019-02-21 17:52:00
了解～感谢各位