https://i.imgur.com/0vrluxo.jpg
这题在问z*196的order
order应该是指’循环群’ 元素a^m=e 的m
但这题问的是 o(G) .
没有问是哪个元素生成的循环群
做法直接用互质的数 说明order 应该不对吧？
https://i.imgur.com/g5KqyLP.jpg
上一题的说法是当作乘法mod是循环群
但是wiki找到的好像不是(看不太懂
这题4和19互质 但是4没办法生成z19
能说明乘法mod不是循环群吧？
那这样第一题的order 问法跟解答应该都不对？
困扰很久 感谢

楼下TEPLUN

order不是指那东西，原本order指的就是群的大小简单来说就是那群里面有多少元素循环群里面元素刚好就是m而它今天需要组成一个群，就代表要有乘法反元素也就是说，是蒐集所有跟196互质的东西

讲完之后好像厘清了0.0！ 感谢rice大

挑小毛病，不是Z*196的元素我讲得不太完整，对群来说的order是大小没错但对元素的order有两种定义方式，一种就是以这元素做为生成元所生出的循环子群的order，另一种定义方式就是你写得a^m=e的最小的m，这两种是等价的以一致性来看我是比较喜欢第一种，第二种是运算上方便

想请问R大 如果这样的话第一题怎么能保证phi(196)就是最小的m呢？

Z*196本身不是循环群，跟m没关系 这边讲的m是元素order举例来说，Z*19是循环群，可以找到一个元素2生成它自己反过来说，在Z*196里是找不到能生成自己的元素的但不管怎么说，任何元素都能自己生成一个循环子群而子群的order一定能整除原群的order对mod乘法群的order来说大概知道到这里，再加上那几个定理就差不多了吧

不好意思想要问一下Rice大一个题外话,Z*n如果要是循环群,那么n就要是质数吗？

不用是质数，例如Z*4也是循环群，不过Z*8就不是了

Z*4也是循环群吗？那他的generator是什么呀？

搞懂 Z*n 的定义 然后自己把Z*4列出来 不就行了不会列就没讨论的意思 会列也就不用讨论了

Z*4只有两个东西，1跟3，3是generator另外高斯其实有个好结论，他说Z*n是循环群iff n=1,2,4,p^k,2p^k p为奇质数

好喔谢谢Rice大

喔，我发现漏看原po文里面一个错误的地方Z*19的确是循环群，你说4跟19互质这件事情是在加法群时才有的事情，在这里你要看成4是2^2，而群的order是182跟18不互质，所以4=2^2不会生成整个群

谢谢R大我搞懂了