Good.
从实数的构造 或实数的定义 (这里使用戴德金分割)来说明两者相等
这应该是最好的说明
不过这已经是数研所的程度
实数的构造 或实数的定义还有另一作法 柯西序列
应该也可以用柯西序列的实数构造或实数定义来说明两者相等
事实上这两种实数构造或实数定义是等价的
事实上各种实数构造或实数定义都是等价的
因为这些构造或定义都说明实数是有序完备体
而有序完备体只有ㄧ个
因此这些实数构造或实数定义都是等价的
不过在八卦板讲这个
如同某民进党员在风月场所讲宇宙大爆炸ㄧ样
※ 引述《kumasame14 (我部织稻)》之铭言：
: 要谈到关于为什么0.999...=1这件事，我们必须先问自己一个问题：“我们真的知道什么是
: 实数吗？”
: 自然数很简单，就是1, 2, 3, ...，再复杂一点顶多就是用空集合去数个数对吧。
: 整数就是算上一个0加上所有自然数给一个负号。
: 而有理数就是两个整数排在一起。
: 从自然数到有理数的扩展过程看起来都是一对一对的。
: 然而，实数呢？
: 几乎所有人都知道根号二是一个无理数，但其他不是n次方根、也不是π或e的无理数怎么办
: ，但我们到底怎么用我们所知的有理数扩展到实数？
: 这边我将参考Rudin所写的数学分析第一章的附录，为各位介绍戴德金分割（Dedekind cut
: ）
: 首先来第一个定义：
: 定义：（戴德金分割）
: 一个有理数的子集合α可以被称为分割（cut）必须满足以下条件：
: (i) α不是空集合，而且α也不等于有理数集合。
: (ii) 如果x属于α，y属于有理数，而且y﹤x，则y属于α。
: (iii)如果x属于α，则存在一个有理数z，使得x﹤z。
: 第二个条件告诉了我们如果x属于分割α，则比它小的数全部都会在这个集合里面。第三个
: 条件告诉了我们x属于分割α，则一定会有至少一个数在α里比x还要大，换句话说，这个α
: 是不存在最大元素的。而我们可以把收集所有分割的集合称作实数。而第一个条件排除了负
: 无限大和正无限大。
: 我们利用了戴德金分割构造出了这个所谓实数的集合。然而你会发现，我们的有理数不在这
: 个实数集合里面了怎么办？其实很快可以发现实数集合里有一个跟有理数差不多的子集合。
: 这个新的有理数Q*的元素可以这样构造：
: 假设q属于有理数Q，定义
: q* = {p属于Q : p﹤q}
: 接下来验证q*是否为分割。
: 由于q-1属于q*，因此q*不是空集合；由于q+1不属于q*，因此q*≠Q。故满足(i)。
: 假设x属于q*，y属于有理数，而且y﹤x，则y﹤x﹤q。故满足(ii)。
: 假设x属于q*。由于(x+q)/2﹤q，(x+q)/2属于q*。由于(x+q)/2﹥x，故满足(iii)。
: 由此可知所有q*都是分割，因此我们把收集所有q*的集合当作新的有理数Q*。
: 接下来我们看一个无理数例子：
: 定义α={p属于有里数 : p^2﹤2或p≦0}
: 检查三个条件。
: 由于0属于α，所以α不是空集合；由于2不属于α，所以α≠Q。故满足(i)。
: 如果p属于α，q属于有里数，q﹤p。假设q≧0，则q^2﹤p^2<2，所以q属于α。假设q﹤0，
: 显然地，q属于α。故满足(ii)。
: 接下来定义一个数
: z=p-(p^2-2)/(p+2)=(2p+2)/(p+2)，则
: z^2-2=2(p^2-2)/(p+2)^2﹤0
: 因为z^2﹤2，并且z﹥p，所以z属于α。故满足(iii)。
: 所以α是一个分割，也就是属于实数。
: 而这个所谓的实数在适当的构造下满足了所谓体（Field）的性质，简单来讲就是经过加法
: 和乘法后所得出的数字还会在这个集合里面，并且满足结合律、分配律、交换律，并且都有
: 加法和乘法的单位元，还有每个操作都有反元素等良好性质。而与有理数最大的差别在于最
: 小上界性质，也就是任意一个实数集合，你都可以找到一个大于这个集合里，最小的实数。
: 但碍于篇幅关系，而且我也累了，如果读者有兴趣，可以自行练习或是读Rudin这本书，接
: 下来我们就直接快转到无穷小数的部分。
: 为了回答为什么0.999...=1这件事，我们必须先构造一个可以表示无穷小数的戴金德分割构
: 造。我就先构造[0,1]这个区间的无穷小数，其他地方可能要请读者自行推广。
: （为了方便区别戴德金分割和有理数，是戴德金分割的元素一律加上*，例如：1*）
: 定义
: 0.(a_1)(a_2)(a_3)(a_4)(a_5)(a_6)...*
: ={p属于有里数 : 对于某自然数i，p﹤0.(a_1)(a_2)(a_3)...(a_i)}
: 其中，a_i=0, 1, 2, ..., 9, i属于自然数。
: 由于这个构造很显然地是戴德金分割，所以这边就不再多做证明了。
: 有了这个构造，我们就可以来证明0.999...*=1*这件事了。
: 首先为了证明0.999...*属于1*，随便取一个p属于0.999...*。
: 对于某个自然数n，p﹤999...9/10^n，这边的999...9有n位。
: 很明显地，p﹤999...9/10^n﹤1，所以p属于1*。
: 接下来要证明1*属于0.999...*，随便取一个p属于1*，故p﹤1。由于p是有理数，p可以写成
: p=m/n，m,n为整数。定义s为n的位数，则
: p=m/n﹤999...9/10^(s+1)，故p属于0.999...*。
: 由此可知，0.999...*=1*。
: 证明完毕。
: