※ 引述《YoRhaA2 (YoRhaA2)》之铭言：
: ※ 引述《a1234a123499 (alah)》之铭言：
: : 物理哥又回来啦
: : 曲未终，人未散，大家拿起鸡排来观战
: : 但现在是谁支持1+2+3+……=-1/12他们大战大多在打私生活有点看不出来到底谁是支持谁是反对，想请教一下
: : 学工程的我也无法接受这个，是物理哥支持-1/12,还是土条支持，请教一下
: 其实也没有人支持 1+2+3+……=-1/12 啦
: 事情是这样的：
: 大家在学微积分的时候，应该有学过
: 无穷级数和 "1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ..."
: 在 s > 1 的时候收敛；在 s <= 1 的时候发散
s=1的时候，就是著名的调和级数：1+1/2+1/3+1/4+...
这个级数是发散的，国高中的数学程度就能证明，随便google也都能查到，
套用成物理的例子，直立成叠的扑克牌，一张一张往外推，如果不限牌数，
在不让扑克牌倒塌的前提下，最远可推出多长？发散代表可推出无穷远的长度！
这个分界点特殊在，不仅在实数线上有明显的特性，
在复数定义域上，也是经解析延拓的zeta函数唯一的不可解析点。
: 而其实呢，在有定义 e^(x+iy) = e^x (cosy+isiny) 之下，
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
这里感觉省略了些，可能会有板友看不懂，
e^(x+iy) = (e^x)乘(cosy+isiny)
这也代表，任何复数都能写成e的复指数相量形式。
简单来说就是，复数的实数次方直接相乘就好，
比方说(x+iy)^2就是(x+iy)乘(x+iy)，
而实数的复数次方，比如说2^(x+iy)，可写成e^ln{2^(x+iy)}=e^{(x+iy)(ln2)}，
其他同一般实数的指数对数运算，再套用上面那个欧拉公式去算，
复数的复数次方稍复杂，此处略过不提。
: 也就是有定义复数指数的话，
: "1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ..." 对于任何实部大于1的复数s会收敛
: 所以我们可以定义一个函数 f
: f(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ... for all Re(s) > 1.
: 至于 s 实部小于or等于1的时候，就不在这个 f 定义域里面了。
: 不过后来有一个 zeta funtion，定义域比f更广，
: 而且 zeta(s) = f(s) for all Re(s) > 1，
: 也就是在f的定义域之内，zeta 和 f 的函数值都是一样的
如果用比较简单的实数函数来举例，比如：
1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x) 在∣x∣<1的时候，等式成立，
但在其他∣x∣>1的时候，只有右边式子有值，左边无穷级数则是发散的。
那么定义域较广的函数1/(1-x)可称为f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...的一种延拓，
两个函数在定义域∣x∣<1的区间内，表现是一模一样的。
: 除此之外， zeta(-1) = -1/12
: 但从来没有人说过 zeta(-1) 等于 f(-1)
: 因为 f 根本就没有定义 s<=1 时候的值
: 至于那些整天大喊 "1+2+3+4+5....... = -1/12" 的 ... 你们懂的
zeta函数在复数域的解析延拓，其特殊的地方是，
经延拓之后的可解析函数是唯一的，并不是可以随便任意延伸的，
这牵涉到复数函数可解析的微分条件，所以有特定的规则与可推测性。
其实复数域就类似实数线的一种延拓，比如我们在解代数方程时：
"x^2+x+2=0" 没有实数解，代公式可轻易得知，
引入复数后，则有成对的共轭复数解，代数基本定理也因此成立。
这样的延拓可能让计算或证明变得更简单，或是能产生更多的思路，
像"1+2+3+4+...= -1/12"这样的结果，其实是先由欧拉以不严谨的方式导出，
还有其他像"1^2+2^2+3^2+4^2+...=0"，"1^3+2^3+3^3+4^3+...=1/120"，
奇妙的是，这些与经过严谨的解析延拓后，所计算出的zeta函数值是一样的！
这说明在牵涉到无限的无穷级数的世界，有许多令人惊奇的数学奥秘存在。