乡亲们，很遗憾石耀渊又落跑了，就跟他在2014年做的事一样。
: ※ 引述《Hyuui (修)》之铭言：
: : 如果你能成功证明 zeta 函数在 z=1 解析延拓收敛，就算我输，场地费我付，并且履约
: : 当年的赌注一千万元新台币。
: : 反之，如果你无法证明，就是你输，请履约赌注一千万元新台币。场地费可以算我的，剩
: : 余的款项，我会捐给台湾向日葵全人关怀协会、台湾儿童暨家庭扶助基金会、博幼社会福
: : 利基金会等公益团体。
: : 你当年可是逼我卖房子、卖内脏、签长年契约、签本票，我通通答应了，这次也不例外，
: : 我随时可以找律师朋友见证签约，债权绝对有法律效力。希望你不要又aloba，第n次被电
: : 到放弃帐号落荒而逃。
: : P.S. 我再加码，只要办成，我在台北和新竹各发100份鸡排，凭本篇推文截图领取。
......但好消息是，大家还是有鸡排可以吃喔喔喔！！！
※ 引述《Schwinger (千金之子不死于盗贼)》之铭言：
: 12月8日是星期六,你不能再说你要上班了XD
: 我们只要办成这次辩论会,规矩就是我之前文章所说的
: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1543969642.A.AD1.html
: 至少三天后彼此要互相把
: 1+2+3+...+ 无穷大 = -1/12
: 在网络公开直播彼此的解法,再网络写给大家看,你不能一直推托你要上班没时间,
: 也不能用你google的陷阱,我也承认我过去错误的结论一直来让我跳,但是你这人从来没有
: 真正老老实实去弄懂
: 我本人愿意加码,土条愿意跟我直播彼此公开自己的解法
: 1+2+3+...+ 无穷大 = -1/12
: 如果你有做出来(欢迎你google喔),在新竹清大发300份鸡排和珍珠奶茶
谁跟你三天？我四年前就做完啦。
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│ 文章代码(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函数和Gamma函数的一? │
│ 文章网址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401122938.A.A36.html │
│ 这一篇文章值 337 Ptt币 │
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关于使用解析延拓的Zeta函数求出“1 + 2 + 3 + ... = -1/12”，可参考这篇文章。
1+2+3+…=-1/12? | 法兰克的数学世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
不过严格说起来，解析延拓后的Zeta函数，在额外拓展的定义域上已经不是原本的
“Sum_n=1~∞ {1/n^s}”形式了，所以其实也没有“Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...”这
回事。我建议把“1 + 2 + 3 + ... = -1/12”当作物理学家们的一个有趣把戏就好，它并
不是严谨的数学结果。
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│ 文章代码(AID): #1JXzXqg4 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函数和Gamma函数? │
│ 文章网址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401411700.A.A84.html │
│ 这一篇文章值 52 Ptt币 │
└─────────────────────────────────────┘
2.
在以下这篇文章中，给出了Zeta{-n}的计算方法。
zeta与Gamma函数—zeta的解析延拓 | 法兰克的数学世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta与gamma函数ii-zeta的解析延拓/
印象中，这应该是Ahlfors的证法。
我想用另外一个方法教大家计算Zeta函数在整数点的值。
复习一下sin{x}的连乘积表示法：
sin{x} = x * Pro_n=1~∞ { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) }
故
z * Cot{z}
= z * ( Cos{z} / Sin{z} )
= z * d/dz ln{ sin{z} }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } }
= 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) }
= 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) }
注意到式中已经出现
Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k}
考虑另一种展开：
z * Cot{z}
= z * ( Cos{z} / Sin{z} )
= iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)]
= iz + 2iz / [e^(2iz) -1]
= 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! }
比较系数后可得：
Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!
──
3.
接下来，假设大家知道Riemann functional equation：
Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z}
为避免篇幅过长，此处将证明略去，有兴趣可自行参考复变课本。
当 z=-2k+1
Zeta{-2k+1}
= 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k}
= 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k}
我们已经知道：
Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!
代入做整理：
Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k
最后可得：
k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12
k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2
──复习一下当年的推文，然后大家就去新竹找石耀渊领鸡排吧！
#1JXARAUb (Math) 2014.05.28
→ josh28 :不才清大数学09级 程度不怎样 所以当年没应届毕业有05/28 08:34
→ josh28 :幸修到沈昭亮老师的复变05/28 08:34
→ josh28 :我只能说 Hyuui的几乎每一字一句说明都跟沈昭亮老师05/28 08:35
→ josh28 :当年教过的一模一样 只差没有照本宣科的写出来05/28 08:35
→ josh28 :某C讲的是对的 除非已故沈昭亮老师当年在乱教 05/28 08:37
→ josh28 :没人站在你那边是理所当然 因为本来就是你在鬼扯05/28 08:40
→ josh28 :另外 所有你打的数学式子我没有能力一一挑错暂不提05/28 08:42
→ josh28 :Hyuui的回答一直重复根本是不得已 因为你从头到尾没 05/28 08:43
→ josh28 :有办法回应过 只是不断跳针做人身攻击还有修正自己的05/28 08:43
→ josh28 :说词而已y 05/28 08:43
→ josh28 :光这个讨论串你回了九篇 一个像样的证明都给不出来05/28 08:44
→ josh28 :到这篇的说词已经变成"我不想公开我的想法"了05/28 08:45
→ josh28 :我话不全说死 因为这篇除了数学系大三教过的内容以外05/28 08:46
→ josh28 :其它非我能力所及 所以"我选择"相信你是在胡说八道05/28 08:47
→ josh28 :理由是Hyuui写的东西全部都是当年我上课听过教过证过 05/28 08:48
→ josh28 :的东西 而你说他错却拿不出证明 05/28 08:48
→ josh28 :顺便昭告一下 上面这段话只是个人想法 不对某C的"真 05/28 08:49
→ josh28 :才实料"做任何指控 我只是帮Hyuui背书几件事: 05/28 08:50
→ josh28 :1.Hyuui的每一篇文章内容的确都是清大数学系大三课程 05/28 08:51
→ josh28 :所教过的 05/28 08:51
→ josh28 :2.所以除非当年沈老师是在乱教 不然Hyuui写的东西都 05/28 08:52
→ josh28 :会是对的 05/28 08:53
→ josh28 :3.同理 某C所谓的Zeta函数的解析"超难"这件事会成立 05/28 08:54
→ josh28 :我想大概是在某个平行世界里才有可能吧 05/28 08:55
→ Hyuui :感谢学长为我说话。我是10级的，没修到沈昭亮老师的 05/28 09:23
→ Hyuui :复变，但我的分析学(微积分、高微、泛函)的确是沈老 05/28 09:24
→ Hyuui :师教的，他是我大学时期最重要的恩师。 05/28 09:24
→ Hyuui :听到学长说我的证法跟沈老师当年教的一模一样，真是 05/28 09:25
→ Hyuui :倍感荣幸，看来我没令沈老师丢脸。再次感谢学长。:) 05/28 09:26
#1JYWr5Bi (Math) 2014.06.06
推 Hyuui :今天是josh28学长开的期限，Lindemann到底有没有把写06/06 14:15
→ Hyuui :好的邀请函请josh28学长转交给教授啊？06/06 14:15
→ Hyuui :就不要呛声呛这么大，我也早说奉陪了，结果自己连个06/06 14:16
→ Hyuui :邀请函都不敢写，害怕让教授知道他丢脸喔？06/06 14:16
→ Hyuui :我超想看到有人证明Riemann/Hurwitz zeta函数在s=1解06/06 14:19
→ Hyuui :析，而且证明手法完全不会和我或Frank雷同呢。 06/06 14:19
→ josh28 :隔了这么多天好像这件事都没下文 那就如果忽然之间06/10 12:26
→ josh28 :又想到需要我帮忙的自行写信给我囉 我不再回头爬文了 06/10 12:27
推 Hyuui :我连摄影器材都帮他打点好了说，真失望。 06/10 20:26
#1JcpRsIe (Math) 2014.06.14
→ Hyuui :明天就要6/15了，结果他根本不敢邀教授，我超失望。06/14 12:53
→ Hyuui :一周多前我就帮他把摄影器材和人力打点好了说。06/14 12:55
→ Hyuui :结果他一听说我真的要去，就开始装死了。06/14 12:55
→ Hyuui :跟之前一千万事件一样，呛声呛很大，结果脸丢光了。 06/14 12:56
#1Jd6MWEk (Math) 2014.06.15
→ Lindemann :最后拜托乡民们不要再寄信给我了,我这帐号不用了06/15 00:23
──【警告】以下是完整数学证明，对数学没有兴趣的人可以跳过。
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│ 文章代码(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函数和Gamma函数的一? │
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作者 Hyuui (修) 看板 Math
标题 [分析] Zeta函数和Gamma函数的一些小知识
时间 Tue May 27 00:48:54 2014
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Chatterly在八卦板提到一些关于复变函数论的结果，但他说的东西有些错误。为了避免他
误导别人，我想拉回来Math板上解说一下，顺便补充一些我觉得有趣的东西。
──
#1JTsjw0U (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html
//Gamma解析延拓出去整个到复数平面,所有整数点包括 1 都是奇点//
#1JWWbT8- (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html
//解析延拓是每一个整数点都不可解析而不是你说的z=1//
──
解说如下：
1.
对于实部大于1的复数s，我们定义Zeta函数如下：
Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s}
Zeta函数的原始定义域是{s | Re(s) > 1}。经过解析延拓(analytic continuation)，可
以拓展为在 {s | s ≠ 1} 的复数平面上的解析函数。
而在 s=1 该点上，即为著名的调和级数。
Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
我之前在某篇文章中提过，17世纪的Pietro Mengoli就证明出调和级数发散。不过我后来
看到另一篇蔡聪明教授的文章，他说：“在1350年左右，N. Oresme（约1323～1382）证
明了调和级数发散， 这是历史上第一个发散级数的例子。”
这个证明的思路相当简单，有些读者在高中时可能就已经学过了。
1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...
第二个级数的每个括号内的值都等于1/2，无穷多个1/2加起来显然发散。注意到第一个级
数的每项都大于第二个级数，故第一个级数发散。
因此，Zeta函数在 s=1 是无法解析延拓的。
解析延拓的Zeta函数在s等于负整数的值，有一个方便的公式可以计算：
Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1)
其中 B_(n+1) 为Bernoulli number。
由于 B_n 在 {n | n为奇数，且n>1} 的值都是0，故 Zeta {-2n} = 0
──
2.
对于实部大于0的复数s，我们定义Gamma函数如下：
Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt
Gamma函数在s等于正整数的值非常容易计算，因为有以下公式：
Gamma {n} = (n-1)!
Gamma函数的原始定义域是{s | Re(s) > 0}。经过解析延拓(analytic continuation)，
可以拓展为在 {s | s ≠ 0 or 负整数} 的复数平面上的解析函数。
在 {s | s = 0 or 负整数} 这些点上，Gamma函数是发散的，但我们可以使用留数定理计
算留数。
Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n!
──
3.
关于使用解析延拓的Zeta函数求出“1 + 2 + 3 + ... = -1/12”，可参考这篇文章。
1+2+3+…=-1/12? | 法兰克的数学世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
不过严格说起来，解析延拓后的Zeta函数，在额外拓展的定义域上已经不是原本的
“Sum_n=1~∞ {1/n^s}”形式了，所以其实也没有“Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...”这回
事。我建议把“1 + 2 + 3 + ... = -1/12”当作物理学家们的一个有趣把戏就好，它并不
是严谨的数学结果。
至于“1 + 1 + 1 + ... = -1/2”，不严谨地说，则是解析延拓的 Zeta {0} 的值，它在
弦论中有些应用。但请注意，不要把Zeta函数和Gamma函数搞混了。虽然我们知道，Zeta函
数和Gamma函数相乘起来有个很漂亮的关系。
Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt
这个关系成立在Zeta函数和Gamma函数原始定义域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。
而且这个特殊关系无法改变以下事实：
1. Zeta函数在 {s | s ≠ 1} 发散。
2. Gamma函数在 {s | s = 0 or 负整数} 发散。
在整个复数平面上，我们比较常使用的是Riemann functional equation。
Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s}
我们可以由sin {πs/2}这项再次看出：Zeta {-2n} = 0
──
以上是一些关于Zeta函数和Gamma函数的小说明，希望大家能弄清楚这些概念。
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│ 文章代码(AID): #1JX9d-UQ (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函数和Gamma函数? │
│ 文章网址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html │
│ 这一篇文章值 314 Ptt币 │
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作者 Hyuui (修) 看板 Math
标题 Re: [分析] Zeta函数和Gamma函数的一些小知识
时间 Tue May 27 21:58:20 2014
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※ 引述《Chatterly (chatterly)》之铭言：
: 这本算很简单的,所以你是要表达Hyuui乱写吗?
: 说过了,我不会做Zeta的解析延拓,因为我不是做数论的,但是我刚刚看这本其实也还好
: 接下来这本书的 p.178页 习题15 和16给你提示我作法了,我打的还比较仔细
: 来呀,证明一下这二题习题展现一下你的本领给大家看看啊,我的证明几乎就是这习题了
: 然后更困难以下的习题几乎是水到渠成了
: 1+2+3+.....=-1/12
: 1+1+1+....= -1/2
: 不要只是丢书好吗? 我都认真写算式了,我只是写给懂得人看得
Lindemann = Chatterly 在物理板说：
//
这个物理学过弦论通常不是背起来就是用regulations来快速得到,
所以Hyuui他的文章已经是严重误导乡民,根本就是不懂装懂,
跟乡民保证全台湾没有老师无聊去教这个的,真正会去深入研究的人除非是做解析数论的
所以拜托乡民不要被Hyuui给骗了,他只是把wiki抄一下,然后竟然说他会做Zeta函数的
解析延拓(这超难的),如果他有本事不可能我的文章竟然连个一行都debug不出来
//
这让我感到非常疑惑，因为Zeta函数的解析延拓是数学系大三生就会的东西。
中正数学系的情况我不清楚，至少在清华大学数学系，我们都是这样教的。
或许物理系出身的弦论学家比较不在意严谨的数学证明，但这一定难不倒他们。
而且要说Zeta函数的解析延拓超难，却说自己会做AdS/CFT，这实在很奇怪。
我从未学过解析数论，也很久没碰复变了，但我可以凭著记忆挑战一下。
──
让我们从一个基本式子开始：
(我对统计力学不熟，所以不确定这在统计力学中是不是基本的东西。)
Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
移项一下。
Zeta {z}
= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函数，记为g(z)。
我们要处理的只有 Int_0~1 的部分，
所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展开，系数先不管它。
1 / (e^t -1)
= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...
故
Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
= Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt
= 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...
所以
Zeta {z}
= 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)}
注意到在z等于非正整数的时候，极点都会被Gamma函数抵消掉，
所以Zeta函数只有在 z=1 的时候有单极点。
Q.E.D.
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│ 文章代码(AID): #1JXBZ-57 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函数和Gamma函数? │
│ 文章网址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401207038.A.147.html │
│ 这一篇文章值 197 Ptt币 │
└─────────────────────────────────────┘
作者 Hyuui (修) 看板 Math
标题 Re: [分析] Zeta函数和Gamma函数的一些小知识
时间 Wed May 28 00:10:35 2014
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※ 引述《Chatterly (chatterly)》之铭言：
: 解法都已经你说如下了,不要再胡说八道好吗? 对下面给个详细数学证明好吗?
: