楼主:
Hatred (╮(⊙＿⊙∥)╭)
2016-08-29 03:30:55※ 引述《Yada (亚洲第一大)》之铭言：
: 本鲁蛇碰到一个天大的难题
: 想说八卦理组高手很多
: 特地跑来求教
: 就是１＋１－１＋１－１＋．．．．．．．．．．．．．．．．．．
: 这样加减下去
: 到底是多少啊
: 有人说是０
: 有人说是１
: 有人说是０．５
: 还有人说是无限大
: 有没有人可以跟我说到底哪一个才是正确的答案？
大家好、打给厚、胎嘎后、口泥几哇、ladies and gentlemen，
这级数和不存在喔～不过如果用别种求和概念，就又可以有答案了！
以S_i表示前i项的和，如果S_1、S_2、...、S_n的平均在n趋近于无穷大
时会收敛至一值，则称该值为级数的Cesaro sum。
Cesaro sum是传统求和的推广，也就是如果一个级数和收敛，则该级数
就有Cesaro sum，且其Cesaro sum就等于其级数和。这点不难证明。
另外还有一种叫做Abel sum，也就是看
a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...
在x从左方趋近到1时，是否收敛至一值（其中a_i表示数列的第i项，x^i
表示x的i次方），如果答案是肯定的，我们就说收敛到的值为级数的
Abel sum。
Abel sum是Cesaro sum的推广，也就是如果一个级数有Cesaro sum，则该
级数就有Abel sum，且其Abel sum与Cesaro sum同值。这件事数学家Hardy
有证明过（但本鲁不知道是谁最先证的），请不要问本鲁怎么证，反正本
鲁忘光了，其实也就是本来就没有真的懂过...
原po问的1+1-1+1-1+... 并不收敛，所以没有classical sum，但有Cesaro
sum（为3/2），这3/2的来源也就是直觉上想的：有一半的时候是1、一半
的时候是2。
至于Abel sum呢？依定义就是要看
1 + 1 x - x^2 + x^3 - x^4 + ...
在x从左方趋近到1时，是否收敛，答案一定是收敛的，不必算，因为刚刚
说了Abel sum是Cesaro sum的推广，所以既有Cesaro sum且为3/2，当然
Abel sum就一样存在且为3/2。
明显地，有不收敛但Cesaro sum存在的级数，原po给的1+1-1+1-1+... 就是
一个例子。
那有没有Cesaro sum不存在、Abel sum却存在的级数呢？答案是有的，所以
Abel sum是“真的”有推广到Cesaro sum，不会两者刚好是一模一样的概念。