代Hyuui说明
作者Hyuui (修) 看板Math
标题[分析] Zeta函数和Gamma函数的一些小知识
时间Tue May 27 00:48:54 2014
Chatterly在八卦板提到一些关于复变函数论的结果，但他说的东西有些错误。为了避免
他误导别人，我想拉回来Math板上解说一下，顺便补充一些我觉得有趣的东西。
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#1JTsjw0U (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html
//Gamma解析延拓出去整个到复数平面,所有整数点包括 1 都是奇点//
#1JWWbT8- (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html
//解析延拓是每一个整数点都不可解析而不是你说的z=1//
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解说如下：
1.
对于实部大于1的复数s，我们定义Zeta函数如下：
Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s}
Zeta函数的原始定义域是{s | Re(s) > 1}。经过解析延拓(analytic continuation)，可
以拓展为在 {s | s ≠ 1} 的复数平面上的解析函数。
而在 s=1 该点上，即为著名的调和级数。
Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
我之前在某篇文章中提过，17世纪的Pietro Mengoli就证明出调和级数发散。不过我后来
看到另一篇蔡聪明教授的文章，他说：“在1350年左右，N. Oresme（约1323～1382）证
明了调和级数发散， 这是历史上第一个发散级数的例子。”
这个证明的思路相当简单，有些读者在高中时可能就已经学过了。
1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...
第二个级数的每个括号内的值都等于1/2，无穷多个1/2加起来显然发散。注意到第一个级
数的每项都大于第二个级数，故第一个级数发散。
因此，Zeta函数在 s=1 是无法解析延拓的。
解析延拓的Zeta函数在s等于负整数的值，有一个方便的公式可以计算：
Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1)
其中 B_(n+1) 为Bernoulli number。
由于 B_n 在 {n | n为奇数，且n>1} 的值都是0，故 Zeta {-2n} = 0
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2.
对于实部大于0的复数s，我们定义Gamma函数如下：
Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt
Gamma函数在s等于正整数的值非常容易计算，因为有以下公式：
Gamma {n} = (n-1)!
Gamma函数的原始定义域是{s | Re(s) > 0}。经过解析延拓(analytic continuation)，
可以拓展为在 {s | s ≠ 0 or 负整数} 的复数平面上的解析函数。
在 {s | s = 0 or 负整数} 这些点上，Gamma函数是发散的，但我们可以使用留数定理计
算留数。
Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n!
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3.
关于使用解析延拓的Zeta函数求出“1 + 2 + 3 + ... = -1/12”，可参考这篇文章。
1+2+3+…=-1/12? | 法兰克的数学世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
不过严格说起来，解析延拓后的Zeta函数，在额外拓展的定义域上已经不是原本的
“Sum_n=1~∞ {1/n^s}”形式了，所以其实也没有“Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...”这回
事。
我建议把“1 + 2 + 3 + ... = -1/12”当作物理学家们的一个有趣把戏就好，它并
不是严谨的数学结果。
至于“1 + 1 + 1 + ... = -1/2”，不严谨地说，则是解析延拓的 Zeta {0} 的值，它在
弦论中有些应用。但请注意，不要把Zeta函数和Gamma函数搞混了。虽然我们知道，Zeta
函数和Gamma函数相乘起来有个很漂亮的关系。
Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt
这个关系成立在Zeta函数和Gamma函数原始定义域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。
而且这个特殊关系无法改变以下事实：
1. Zeta函数在 {s | s ≠ 1} 发散。
2. Gamma函数在 {s | s = 0 or 负整数} 发散。
在整个复数平面上，我们比较常使用的是Riemann functional equation。
Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s}
我们可以由sin {πs/2}这项再次看出：Zeta {-2n} = 0
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以上是一些关于Zeta函数和Gamma函数的小说明，希望大家能弄清楚这些概念。