※ 引述《dickson69 (HHHHHHHH)》之铭言：
: 遇到一题完全没有想法如何切入
: 请求各位智者解答(题目4.8)
: http://i.imgur.com/Opuy7p6.jpg
U=q1^ρ+q2^ρ
dU=ρq1^(ρ-1) dq1 + ρq2^(ρ-1) dq2
当ρ<0时, 边际效用为负, q1=q2=0时效用最大
当ρ=0时, 边际效用恒为0, q1,q2为预算限制内任意数效用都一样
当ρ>1时, 边际效用为正且递增,为角解,全部预算拿去买便宜的可得最大效用,
p1=p2则双角解,全买q1或全买q2
当ρ=1时, 边际效用为正且固定,若p1=p2则为线解随便买把预算花光都得最大效用,
p1不等于p2时为角解全部买便宜那个
当0<ρ<1时, 边际效用为正且递减,对任意预算有唯一解
每增加1单位q1须花p1预算,得边际效用ρq1^(ρ-1),平均每预算ρq1^(ρ-1)/p1
每增加1单位q2须花p2预算,得边际效用ρq2^(ρ-1),平均每预算ρq2^(ρ-1)/p2
若ρq1^(ρ-1)/p1不等于ρq2^(ρ-1)/p2则可将较小者预算转移至较大者,
则总效用增加,而因边际效用递减同时使较大者降低,较小者升高,直到相等为止为最大解
则令ρq1^(ρ-1)/p1=ρq2^(ρ-1)/p2=ρt^(ρ-1)
则q1=p1^(1/(ρ-1)) t, q2= p2^(1/(ρ-1)) t,
又预算C=p1q1+p2q2= (p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))t
可解出t= C/(p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))
则最大效用时q1=C p1^(1/(ρ-1))/(p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))
q2=C p2^(1/(ρ-1))/(p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))