我想问“过最低点的二阶数学计算”, 好多参考书都只列出一阶证明
Q1.用数学试证,短期的边际成本（ＳＭＣ）会通过短期平均成本（ＳＡＣ）最低点。
数理证明是把ＳＡＣ做一阶微分使它＝0 求得极值。
得到：
f.o.c: ∂AC/∂Q=∂(TC/Q)/∂Q={(∂TC/∂Q)xQ-TCx1 }/Q^2（默念前微后不微减...）
=(MCxQ-TC)/Q^2=(MC-AC)/Q (整理)
此时若f.o.c＝0 ＡＣ出现极值条件下 , ＭＣ会等于AC
此时再用二阶微分>0求得此点是ＡＣ线极小值
s.o.c:{ ∂(MC-AC)/Q}/∂Q={∂(MC/Q)}/∂Q-{∂AC/Q}/∂Q（拆开来再微分）
={(∂MC/∂Q)xQ-MCx1}/Q^2- {(∂AC/∂Q)xQ-ACx1}/Q^2（再念一次前微后不微..)
={{(∂MC/∂Q)-(∂AC/∂Q)}xQ-MC+AC}/Q^2 (再整理)
又MC=AC故得到
={(∂MC/∂Q)-(∂AC/∂Q)}/Q
问题来了！！
要怎么用”数学“证明MC的斜率大于AC斜率？
Q2.ＳＭＣ过ＡＶＣ最低点数学证明,方法同上
一样做f.o.c＝0 再做 s.o.c>0
(AVC=TVC/Q)
f.o.c=∂(TVC/Q)/∂Q=∂{(TC-FC)/Q}/∂Q=∂(TC/Q)/∂Q-∂(FC/Q)/∂Q
={(∂TC/∂Q)xQ-TC}/Q^2+FC/Q^2=(MC-AC)/Q+AFC/Q
=(MC-AC+AFC)/Q=(MC-AVC)/Q
在一阶微分＝0 下有极值 ,此时 MC=AVC
s.o.c=∂(MC/Q)/∂Q-∂(AVC/Q)/∂Q
={(∂MC/∂Q)xQ-MCx1-(∂AVC/∂Q)xQ+AVCx1}/Q^2
又因为MC=AVC得到
{(∂MC/∂Q)-(∂AVC/∂Q)}/Q
我写到这里也不知道要怎么用数学证明MC斜率大于AC,虽然用图看就是这样..
Q3.厂商的利润最大产量会在MR=MC，试用数学证明
也是用foc=0, soc<0求极大值:
利润＝TR-TC
求极值：f.o.c= ∂TR/∂Q-∂TC/∂Q = MR-MC 此时有利润极大（或极小）
s.o.c=∂MR/∂Q-∂MC/∂Q 这边我就不知道怎么下去了...
请高手求解,如果有观念错误或计算错误也请不吝指教 ～谢谢！！