李冶是金末元初的数学家，最著名的成就便是天元术，据说可解高次方程式。
相传1232年蒙古军围攻汴京时，他曾上书金朝廷，说可以出一道数学难题，
只要蒙古帝国方面能解出来，就给予大量岁币，如若不能，就要撤围，退兵
三十里。
当然，别说蒙古方是不可能接受，连金哀宗也觉得不可能成功，便婉拒此
要求。
据说难题如下:
1+1/Y+1/(Y^2)+1/(Y^3)+1/(Y^4)+1/(Y^5)+1/(Y^6)+1/(Y^7)+1/(Y^8)= 0
求 [4x(Y^12)]^3 = K =??
当然，里面的"Y"是指天元术里的"天元"，就是未知数的意思。
当初李冶的要求是，能解出"K"值，就给蒙古帝国"K"万两银，不能的话，
就要撤围退兵。
有没有人知道这题的答案???
或是有人知道如何解这题???

看起来能拆成[1+1/Y+1/(Y^2)][1+1/(Y^3)+1/(Y^6)]=0所以Y的8个根可写成exp(i*PI*y) y=2/3、2/9、8/9、14/9、-2/3、-2/9、-8/9、-14/9K=[4*(Y^12)]^3=64*(Y^36)=64*1=64不过那年代没有虚数的概念 所以我猜他多半没解出Y 而是解出Y^3的其中一个可能值是1Y=exp(i*PI*y) 所以Y^36=exp(i*PI*36*y) 36*y分别等于24、8、32、56、-24、-8、-32、-56 皆为偶数 所以Y会是exp(i*PI*2)=1的整数次方 也就是1这题能解是因为可以拆成两个变形的一元二次方程式相乘只是因为解出来是复数 所以用尤拉公式比较方便表示

其实把两端同乘(1-1/Y)，就可以得到1-(1/Y^9) = 0，1/Y^9=1则1/Y的九个根就会落在复数单位圆 2*n*Pi/9 n=0、1、....、8的9个点上。n=0，即1/Y=1 这个根是同乘(1-1/Y)时虚增的，要去掉，剩下的8个根才是真的根。

收到了 感谢

但由于复数单位圆上的所有根都会满足Y^9=1，所以Y^36也会等于1，不必把根分别实际写出来也没差。

d大的解法满漂亮的

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推d大解法。蛮好奇当年李冶做题的思路是怎么想的？

我以为到了数学版@@，李治出数学题考蒙古人也太有趣了

用matlab 算y有八个解全是复数解每个解丢公式，算出来是正负64，所以要给蒙古64万

应该不会有负值，就是64才对