※ 引述《arrenwu (不是绵芽的错)》之铭言：
: 其实我们帮这些直觉翻译一下，会得到下面这结果
: 定义数列 An = 0.999...99 (小数点后面n个9)
: A1 = 0.9, A2 = 0.99, A3 = 0.999, ........
:
: 0.9bar = lim An
: n->∞
: 基于上面的描述，会得到 0.9bar = 1
: 不同意的，就叫他自己描述一下他心中的 0.9bar 是什么样子
: 如果对方无法定义自己心中的 0.9bar 却还是坚持不等于1 ....
: 可能是脑袋刚好打结了
: 让他看一下角卷绵芽的直播舒缓一下吧
: https://youtu.be/l6rlIOetkwg (现正直播中)
应该就:
n
Σ9*0.1^k = 9*0.1(1-0.1^n)/(1-0.1) = 1-0.1^n
k=1
(为了极限的定义确立证明目标: |1-0.1^n-1| = 0.1^n < ε => 10^n > 1/ε)
Let S = {n in N | 10^n > 1/ε}
Claim: 10^n≧n for all n in N.
Proof:
Basis step:
When n = 1, 10 = 10^1≧1. The relation holds
Inductive Step:
Suppose when n = k, the relation holds
Then when n = k+1, 10^(k+1) = 10*10^k≧10k(by induction hypothesis)
∵ 10k = k+9k ≧ k+1
∴ 10^(k+1) ≧ k+1
The relation also holds for n = k+1
So, by induction, 10^n≧n for all n in N
By Archimedian property, there exist an natural number n such that
n = n*1 > 1/ε
So, by the previous claim and Achimedian property,
there exists a natural number n such that 10^n ≧ n > 1/ε holds.
So, S is nonempty for every ε> 0
Now, we want to show that "for every ε > 0, there exists a natural number
M such that if n > M, 0.1^n < ε"
By Well-Ordering Principle, there exists a smallest positive integer M
such that 10^M > 1/ε
∵ 10^n is increasing, 10^n≧10^M > 1/ε for all n > M
=> 0.1^n < ε for all n > M
∴ lim (1-0.1^n) = 1
n->∞
0.999... = 1这件事可以用这个角度去看

快推避免人家说我看不懂

0.1^n < ε => 10^n > ε 确定不是1/ε ??我是觉得中间的数学归纳法证的东西很怪 但也懒得看了这个证明方向应该也不是证10^n≧n就 随便吧 我只是想点科普向 不想做学术研讨虽然看得懂 但用全英文的标准写法很劝退普通人就是了虽然知道这应该算是职业病了Q_Q

靠腰 这串滑下来 发现外面已经有鸟叫声了 哭啊

有再严格的定义 即使你懂我懂 不接受的人还是不会接受 只要遇过就知道那你列的证明足不足以说服那些人就也很难说了

这里是八卦(X

a=0.9bar 10a=9.9bar 互减变成9a=9 a=1