※ 引述《arrenwu (不是绵芽的错)》之铭言：
: ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之铭言：
: : 推 CATALYST0001: substitution高中有教吧？还是那是我以前补习班才 03/06 23:39
: : 没有。我只在很旧的高职工程数学上看过。
: : → CATALYST0001: 有学到？反而是ln 跟e不晓得为什么不教 03/06 23:39
: : 我也觉得该教，但实际上一教下去就会牵出一大串东西。
: : 最舒适的流程应该是用积分定义 ln，证明他满足对数律就可以说明他是一种 log。
: : 然后带出他的底数 e，定下自然对数底这个称呼。
: : 毕竟常用的两个极限定义都……很奇怪啊。
: : (1+1/n)^n 还可以用复利，Σ1/n! 要从无穷级数的积下手来谈吔。
: 只是要教 (1) e 常数的定义 和 (2) 对应的指数函数不难啦
: 问题在教了要干嘛？
: 教会学生怎么对 1/x 积分？
: x
: ln x = ∫du/u 这个定义是证明起来方便，但动机看起来超奇怪
: 1
: 你没事定义一个这样的函数干嘛？打手枪？
: 比较易懂的做法是
: 1. 定义常数 e
: 2. 定义 lnx 为指数函数的 e^x (简单的说就只是某个特别的对数函数)
: 3. 透过反函数的微分性质去得出对 lnx 微分会得到 1/x
: 但第三步会得要先得到 “对e^x微分会等于e^x”
: 这实际上也才是为什么 e 重要
: 但是啊，你怎么突然会关心起“微分变成自己的东西”？
: 这答案很标准，就是微分方程，比如 y'(x) = ay(x)
: 微方可以说是人类科学发展过程中数一数二重要的里程碑
: 不过我们高中教育从来没有想要把微方的概念代入教材里面
: 而如果跳过这些，纯粹就告诉学生“干 别管有啥用，给我全部接受、算就对了”
: 这很容易造就一堆觉得莫名其妙、然后什么都没学会的学生
先教积分在教微分的方法多见于一些数学系才会用的教材，其便利之处在于处理积分比
处理微分更容易。所有数学系毕业的人都知道Lebesgue定理，但是知道绝对连续隐含微分
几乎处处存在且微积分基本定理成立的人是为数不多的存在。在指对数函数这边会写出
的事情是，用1/x的定积分定义log(x)让你直接得到log和其反函数都无穷可微，但是先写
出指数函数时你必须要了解他是一个连续甚至可微的函数，那就得动手算一些极限，衍生
出是要算下去让课堂变无聊还是要跳过去让学生变得迷惑的两难。
另一方面，你写出的微分方程固然可以用瞪出一个解和存在唯一定理解，但是其正规解法
难道不是分离变量后变成a/y对y积分并取反函数吗？这也给出一个为什么要会算这个积分
的叙事。在纯数学里，1/x的积分是重要的积分，log函数也是伟大的函数。用途和趣味性
不见得会输给指数函数，只是生不出刚学微积分的人能理解的动机而已。

这个很有说服力 不过你瞪出解的程度不是一般人能做到的阿

我大学修过后就不想碰了 请不要唤醒我记忆(头痛

看到几乎实在心痒痒很想知道例外的函数的密度（啧啧）…（先教积分也是为延后无穷大小这个教师债务吧？XD）

正规的教法是 极限-连续-微分-微积分基本定理-积分，然后是partal 微分，多重积分，这样差不多就理工类两学期了，剩下的丢给工数。其实微积分这种抛弃旧的数学思想蛮好玩的

忘了以前哪篇心得文看过美国好像有大学是要求教师避开以(ε, δ)定义函数的极限，如果遇到上位者如此要求的话，该怎么办呢？还是先岔题几个小时教非标准分析（哭哭）？

推 有人不知道这位是 数学卷哥

感谢作者唤起了以前某些高中老师会举的直观例子，但看了https://gyo.tc/1XCyI https://gyo.tc/1XCyG 恐怕对高中没碰过作者所举的例子的大一学生相当紧凑呢……（可能某些人第一次浅尝微分是在高中物理的运动学吧）

我不是说先教积分……是教了积分以后才开始介绍e啦>"<内容扎实的微积分课纲很紧凑，所以微积分其实是无论如何都

回楼上：（@@双眼亮度皆为一千流明）

得在高中先教。觉得应该放e是因为一级反应、衰变和常态分

推数学，看到第一行就昏了

布。总之帮学生补一下洞吧。不然对e的理解停在“一个约2.71828的数字”实在很没fu。然后签名档会不会太狠？Galois 21岁就挂掉了吧？

（楼上突破盲肠XD）

还有阿瑞尼士方程，甚至波兹曼分布。高中ln的应用应该是能斯特方程式吧。

以前学习自然对数的底数遇到很多老师都是先从无限期数的复利收敛值切入，如果换成自己教别人，不容易想像如何先

连续复利跟(1+x/n)^n很搭啊。

教积分再教自然对数的底数……（在下以上的“教”，主要针对许多没默认动机的同学）

在讲x^n的积分的时候，强调一下n不能是-1。就能勾起想唱反调的人的表面动机了。

我应用数学系毕业.. 我好烂