文章内使用简写
FGO = Fate/Grand Order
PC = 公主连结
GI = 原神
代表了三种不同的抽卡机率模型
分别是无保底 第n抽保底 线性保底
以下将探讨
(一)抽到最高稀有度的情况
(二)抽当期加倍角(pick-up, PU)的情况
之所以分开讨论是因为 原神的PU角规则比较复杂
(一)最高稀有度的情况
FGO的五星1%
PC的三星2.5%
GI的五星0.6%
1.按下第n发中奖的机率p
(1)FGO
p = 1%
(2)公主连结
1~299抽p = 2.5%
300抽p = 100%
(3)原神
使用目前较有说服力的机率模型[1]
与超过12万笔抽卡记录的数据集[2]有相似结果
https://i.imgur.com/zVrNJ0I.jpg
1~73抽p = 0.6%
74抽开始每抽机率上升6%直到89抽
90抽p = 1
https://i.imgur.com/d5Dj6KD.png
2.在第k发中奖的机率n
要求前(k-1)发失败 然后第k发抽中
为什么要算这个?
可以拿来算期望值几抽出一只
知道每个人花了几抽抽中的分布情况
相当于抽卡的使用者体验
也能拿来算手上有k抽的时候有多少机率能抽中
https://i.imgur.com/SRHSRqN.png
可以看到公主连结把300抽之后的中奖率拉到第300抽
而原神把75抽之后的中奖率都拉到75~80抽左右
3.k抽内中奖的机率c 方便迅速查表
也能看成 抽了k抽的人有多少比例的人中奖
相当于把n从1到k加总(累积分布函数CDF)
用这个就能定义欧洲人/非洲人
https://i.imgur.com/mADGoIG.png
可以看到FGO跟公主连结几乎一样
300抽保底对2.5%来说几乎没影响
4.定义欧洲人/非洲人
使用常态分布的68-95-99.7法则
https://i.imgur.com/5s7ezbp.png
欧神 欧皇 欧洲 普通 非州 非酋 衰鬼
0.15% | 2.35% | 13.5% | 68% | 13.5% | 2.35% | 0.15%
3σ 2σ 1σ 1σ 2σ 3σ
0.15% 2.5% 16% 84% 97.5% 99.85%
每666人有一个欧神一个衰鬼
每40人有一个欧皇一个非酋
每6.25人有一个欧洲一个非洲
每3人有2个普通人
越左边越欧
https://i.imgur.com/kqQ0Xz8.png
除以一只五星的期望值抽数
横轴为“几个期望值”
可以想成每抽一只五星要花多少只五星的石头量分布
期望值
FGO = 99.96抽
公主连结 = 39.98抽
原神 = 62.30抽
https://i.imgur.com/8FDdQyr.png
可以看到
FGO跟公主连结长很像
而原神相较之下大部分的人需要抽超过期望值
非州人跟一般人没什么差距
欧洲人的抽数区间比非洲人广
乘以一抽的价钱 以新台币为单位
这边用的数据是
FGO台服: NTD 2390 = 167石, 30石 = 11抽
公主连结台服: NTD 2390 = 7500石, 150石 = 1抽
原神亚洲服: NTD 3290 = 8080石, 160石 = 1抽
课金有各种额度比值难以计算，因此仅供参考
https://i.imgur.com/8jwllue.png
(二)当期加倍角(PU)的情况
1.按下第n发中奖的机率p
(1)FGO
p = 0.8%
(2)公主连结
1~299抽p = 0.7%
300抽p = 100%
(3)原神
先用五星机率判断有没有抽到五星
抽到五星的瞬间有50%PU五星 50%其他五星
如果没中PU 则下次抽到的五星必为PU
这边的p需要条件判断所以无法算出来
但可以算出n
https://i.imgur.com/6v4Abga.png
2.在第k发中奖的机率n
其中50%抽到PU的机率 就是(一)2.的机率nPU
问题在于剩下50%没抽到PU的机率nOther
会从零重算五星保底的机率
因为下个五星必PU
nOther其实就是连抽两个五星的机率
nOther = nPU跟nPU做convolution
简单的解释:
第二抽抽中2五星
第一个五星跟第二个五星的抽数是(1,1)
12345
54321
第三抽抽中2五星
一跟二的抽数可以是(1,2),(2,1)
12345
54321
第四抽抽中2五星
一跟二花的抽数可以是(1,3),(2,2),(3,1)
12345
54321
可以看出来这动作就是一个convolution
原神实际上的n 等于50%的nPU跟50%的nOther加起来
接下来问题就很简单了
https://i.imgur.com/HkpJuUp.png
可以看到原神大部分中奖集中在70~80以及140~160
第一个峰是50%PU出
而第二个峰是50%PU没出 因此要到第二个五星保底才出
3.在前k抽中奖的机率c
https://i.imgur.com/iCEUwAE.png
可以看到公主连结的300抽保底在PU的效果比三星明显很多
因为PU机率比三星机率低很多(0.7%/2.5%)
4.欧洲人/非洲人
https://i.imgur.com/WVstjoQ.png
除以一只五星的期望值抽数
期望值
FGO = 124.68抽
公主连结 = 125.49抽
原神 = 93.45抽
https://i.imgur.com/clLTZvT.png
可以看到FGO跟公主连结在50%以下几乎一样
但公主连结在非州人的区间则大幅缩减范围
尤其是把原本越非的区间越宽的问题解决了
(非州区间宽代表 明明同是非州人 差别却很大)
原神的PU跟纯五星相比
抽PU比较多人不用花到期望值的抽数
非州人的区间被极端压缩
没有人受伤的世界就诞生了
乘以一抽的价钱 以新台币为单位
https://i.imgur.com/t2zatHy.png
参考资料
[1]原神五星机率模型
https://bbs.nga.cn/read.php?tid=25011594
[2]原神抽卡数据集
https://github.com/OneBST/GI_gacha_dataset

这里是西

螺

大

谷

汤

婆

看来我也没这么倒楣 原神都10~75抽出金 UP也没歪几次

跪

公连日版三星机率已经变成3%了

等你菲过就知道自己之前多欧了 XD

原神

公连几%意义不大 up率写死的 哪怕是fes

原来我非酋都没有

大大好心也做一些其他游戏吧 比如马娘

专业给推

我只知道我都抽不到（崩溃）

公连有少数池pick up会变1.4%，不是完全写死的

公连第300抽的机率还是2.5%啊,只是会额外送你一只不知道你有没有算到这个

专业 推

原神一单是八千多石头，原PO这价钱有误

推 专业

原神不算第一次的优惠，一单一律是8080石

推