※ 引述《lucow (lucow)》之铭言：
: HI~ 各位
: 我最近在念Shreve的书，看到一个Siegel's Paradox
: 原本以为只是测度的不同才导致Q(t)和1/Q(t)的期望报酬差了一个变异数的平方
: 没想到在后面Forward Exchange Rate的评价时
: 发现了问题
: Shreve书上在算
: 远期汇率F时，是用Domestic risk-netural去算
: 但在算它国的角度来看，远期汇率1/F时，是用用Foriegn risk-netural去算
财务工程（财务经济）是以无套利的前提下进行评价
市场无套利表示衍生性商品的报偿可以利用投资组合的方式复制出来
在完备市场中，如果可以用银行存款与标的资产来复制衍生性商品报偿时
就可以得知该衍生商品的价格，这个概念也就是所谓的无套利评价法
上述也可以说明当二个资产价格之间在任何时间的关系不变
那表示二个资产的相对价格为一个平赌过程，即所谓的风险中立评价法
传统的风险中立测度是指银行存款与其他资产之相对价值满足平赌
若零息债券与其他资产之相对价格满足平赌时，虽然这也叫做风险中立测度
但是我们会给它一个专有名词──远期测度
进行评价时可以任意选用任一个风险中立测度，只要好算即可
例如交换式选择权，期末报偿为 max(S1T-S2T,0)
我们可以利用银行存款做为计价单位来评价 Q 测度
也可以用 S2 做为计价单位来评价，只是在这边需要先算出在 QS2 测度下的平赌条件
: 所以两个算出来都跟我们在财务学上熟悉的公式相同
: 但我想到....
: (1)
: 用Domestic risk-netural去算Forward Exchange Rate
: 远期汇率F导出来跟财务学上的一样
: 但以它国的角度来看，远期汇率1/F导出来会不同，exp的指数地方会多变异数的平方
远期汇率 F*e^(-rT) = EQ (XT*e^(-rT))
在 Q 测度下，即期汇率的动态过程为 dXt/Xt = (r-f)dt + vdWQ
F*e^(-rT) = EQ (XT*e^(-rT)) = Xt*e^(-fT)
所以 F = Xt*e^(-(f-r)T)
: (2)
: 用Foriegn risk-netural去算Forward Exchange Rate
: 远期汇率F导出来跟财务学上的不同，exp的指数地方会多变异数的平方
: 但以它国的角度来看，远期汇率1/F导出来和我们熟悉的财务学上的答案相同。
如同上面说的，评价时选择任何风险中立测度都可以
或是说上面是以本国投资人的观点出发，这边是以外国投资人的观点出发
对于本国人而言，在本国的直接汇率为 Xt
对于外国人而言，在外国的直接汇率为 1/Xt = Yt (为本国的间接汇率)
站在歪国人的角度，他的远期汇率为
Ff*e^(-fT) = EQf (YT*e^(-fT)) and Ff = 1/F
dYt/Yt = (f-r)dt + vdWQf
Ff*e^(-fT) = Yt*e^(-rT) 所以 Ff = Yt*e^(-(r-f)T)
1/F = (1/Xt)*e^(-(r-f)T) → F = Xt*e^(-(f-r)T)
: ***所以是说财务学上我们熟悉的那两个远期汇率结果不会同时成立吗?
在完备市场下，一样的东西在不同市场间的价格一定要一样
例如台湾人与美国人同时预期汇率必须相同，不然有套利空间
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