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作者: qazwsxerdfcv () 看板: NTU-Exam
标题: [试题] 96上 杨维哲 微积分甲上 期末考
时间: Mon Jan 14 17:52:39 2008
课程名称︰微积分甲上
课程性质︰系必修
课程教师︰杨维哲
开课学院：理学院
开课系所︰物理系
考试日期（年月日）︰2008/01/14
考试时限（分钟）：120
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
【注意】f 属于 C^2(I)表示：f是区间I上的函数，其二阶导函数还连续。
【类推题】把离散的事实改为连续的！
1. 设n ≧ 3，Pj = (xj,yj), 其中j = 1, 2,...,n; 又规定n + 1≡ 1; n ≡ 0.
假定: 所有的线段P(j-1)Pj互相没有交点, 只有相邻线段有共同端点. 则这些端点
的联集Γ是个'简单闭折曲线',围得一个区域R, 以Γ:= δ(R)为缘界(boundary).
Γ的周长为
|Γ|:= Σ(j = 1 to n)( sqrt( |xj-x(j-1)|^2 + |yj - y(j-1)|^2 ) )
R的面积为?
2. 设y(j-1) < yj, fj > 0, 对所有j, sigma(j)(fj) = 1
2i. 求α = μ1, 使得下式为最小:
Φ1(α) := Σ( | yj - α | * fj )
2ii. 求β = μ2, 使得:
Φ2(β) := Σ( | yj - β |^2 * fj )
为最小! 此最小值Var(Y) = Φ(μ2)为何?
2iii. 记sd(Y) := sqrt(Var(Y)), 叙述chebyshev不等式.
3. 若无限数列 y = (y0, y1, y2,...,)有: (Δ^2y)n ≧ 0, 就称为凸数列, 此时,
对于任何的自然数 n1 < n2 < n3, 都有
n3 － n2 n2 － n1
y(n2) ≦ ──── * y(n1) + ──── * y(n3)
n3 － n1 n3 － n1
(定义'右差分'Δ为 (Δy)j := y(j+1) - yj )
【类推题】把连续的事实改为离散的!
4i. 若(未知数D的)k次方程式('特征指数方程式')
D^k = a1*D^(k-1) + a2*D^(k-2) + ... + ak
只有单纯根 D = λ1, λ2,...,λk, 则: 微分方程式(D := d/dt)
(D^k)y = a1*D^(k-1)y + a2*D^(k-2)y + ... + ak*y
的一切解答, 都可以表达成:
y(t) = Σ(j)(αj * e^(λj * t) )
【提示】推移算子是: (Ey)n := y(n+1).E(yn) = λyn 的解?
4ii. 若上述'特征指数方程式'恰(只)有一组'退化的'三重根 λ1 = λ2 = λ3,
则解答的前三项改为
(α1 + α2*t + α3*t^2) * e^(α1*t)
4iii. 微分方程式
(D^k)y - ( a1*D^(k-1)y + a2*D^(k-2)y + ... + ak*y ) = h(t)
在下述初期条件下, 必有一解且只有一解:
于 t = 0 时, D(j)y = bj, j = 0, 1,..., k - 1
5. (L'Hopital)若lim(t → ∞)f(t) = +∞, lim(t → ∞)g(t) = +∞,
且lim(t → ∞)( Df(t) / Dg(t) ) = K, 则: lim(t → ∞)( f(t) / g(t) ) = K
【计算题】
6. 求x^10 + 2008/x + 3*x^3 + 3 = 0 的近似解
【提示】2^10 = 1024
7. 以极座标 x = r*cos(θ), y = r*sin(θ),考虑封闭曲线r = f(θ), (0≦θ≦2π)
所围的区域(假定含有原点)之面积 = (1/2)∫(0 to 2π)( f(θ)^2 dθ)
试求心脏线 r = 1 - cos(θ)所围之面积.