※ 引述《med5566 (美德5566)》之铭言：
: 本肥宅刚打了盹
: 梦到了以前读高中的时候
: 物理老师在教克普勒三大行星运动定律
: 提到说他老兄是用肉眼加个望远镜
: 看出行星运动轨道是个椭圆、而且在同一个支配的恒星之下
: 所有的行星会满足R^3/T^2为一个定值
: 如果可以、超想问看看他老人家当初是看到了啥才能发现这神奇事
: 大家以前也有读过什么神奇的事迹吗
克卜勒的行星运动大三定律并不是一次提出的喔，而是有先后的发展过程。
而要谈到克卜勒，就不能不提他的老师：第谷．布拉赫(Tycho Brahe, 1546-1601)，
若没有第谷的精确观察与记录，就没有后来的克卜勒与行星运动三大定律。
那是望眼镜还没发明的时代，
丹麦天文学家第谷．布拉赫仅靠着肉著每天记录行星的位置，
并且因为他不接受哥白尼的日心说系统，
曾经提出一个被后人称为“第谷行星体系”的系统。（如下图1）
https://i.imgur.com/pX1sDsS.png
图1 第谷行星体系
取自 http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Tychonian_system.svg
此系统是介于日心说与地心说之间的理论，
将地球视为静止的中心点，太阳与月球皆绕行地球做圆周运动，
除地球与月球之外的其他天体再绕行太阳进行圆周运动。
为了验证自己的理论是正确的，第谷开始对行星进行精确的测量工作。
他被视为天文史上精确计算行星位置的第一人。
第谷在读到年轻的约翰内斯．克卜勒(Johannes Kepler, 1571-1630)
在著作《宇宙的奥秘》所展现的才智与数学能力，
便邀请他以助手的身分协助自己，负责计算行星的轨道。
1600年2月4日是两人的初次见面（中间劳资纠纷吵架又和解的事就不提了）。
隔年，第谷逝世，留下大量且精确的行星观测资料，
期望克卜勒能证明自己的行星体系是正确的。（苏明俊、陈辉桦，2001a）
幸运获得第谷观测行星多年资料的克卜勒继续观察星体，
经过无数次的计算后，他发现火星的轨道并不是正圆形，
于是改以“太阳与火星的连线”思考，
验证了“相等时间内，太阳与火星连线所扫过的面积是相等”，
即为“等面积定律”（如图2）。
https://i.imgur.com/0bOiSgQ.gif
图2 克卜勒行星运动第二定律、等面积定律
蓝色的部份为单位时间扫过的面积，所以靠近太阳的近日点，行星会运行得比较快。
取自 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kepler-second-law.gif
在等面积定律的基础下，克卜勒持续对火星进行研究，
他发现两个问题：
1. 火星轨道的直径与正交直径有8角分的误差
2. 运行的速率时快时慢、并非等速运动
8角分有多少？从地平面到天顶是90度，
将你的手臂伸直、手掌并拢，此时眼睛看到手掌的宽度约为10度，
每一指手指约为2度。（如图3）
而一度=60角分，
所以……8角分在地球上观测大约就是把一根手指切成15等分的位置差。
https://i.imgur.com/cyKN0go.jpg
图3 天文观测单位：秒弧 (Arc-second)
取自 http://aeea.nmns.edu.tw/2001/0109/ap010908.html
这时你会怎么办呢？忽略不计？视为单纯的观测误差？
克卜勒他相信第谷的观测结果，
于是放弃自希腊时代以来公认最完美的正圆形，另寻他种轨道形状。
最后发现椭圆轨道可以解决所有问题，
太阳正好位于椭圆的其中一个焦点之上，
推广到当时已测得之所有行星亦符合观测结果，
完成“椭圆轨道定律”
他将这个结果写在1609年出版的《新天文学》一书，
（拉丁文：Astronomia nova、英文：New Astronomy），
提出了三大定律中的前两条定律：
椭圆轨道定律（第一定律）与等面积定律（第二定律）。
下图4取自《新天文学》，虚线为实际的火星椭圆轨道、实线是辅助圆，
几个三角形是用于证明椭圆轨道对于等面积定律也成立。
此二定律的发表，代表第谷所提出的行星模式被推翻、哥白尼的日心说才是正确的，
但哥白尼的错误是把行星轨迹假设为正圆形，克卜勒修正了这个错误。
（苏明俊、陈辉桦，2001b）
https://i.imgur.com/jihFR6X.png
图4 克卜勒绘制之椭圆定律示意图
取自 http://www.kepler-museum.de/index.php/einfuehrung/bereich-4.html
右上角的插图是他老兄在欣喜之下画出心目中的天文女神w
1610年，伽俐略用望远镜发现了木星的四颗卫星，
克卜勒在隔年得到一架望远镜，并用它观测木星的四颗卫星后，
写成《四颗卫星的观测报告》支持伽俐略的发现。
在发表上述两条定律之后，长年观测行星、记录行星运行的克卜勒，
从行星的运行之中，发现行星之间似乎存在着巧妙的和谐性。
他在1618年出版的《世界的和谐》
（拉丁文：Harmonices Mundi、英文：The Harmony of the Worlds）
用了大量的篇幅在描述音乐宇宙
（又称天体音乐，Musica Universalis。Musica为音乐的中世纪拉丁文用词）
的和谐、音乐合声的原理，
书中也指出火星和木星之间出现了不合谐的情况，产生“例外”。
而第三定律相关的内容，在《世界的和谐》全书五章的第五章才出现，而且只有一页。
“任两行星之间，恰存在其周期比，等于其轨道平均距离的3/2次方比之比例”
(Kepler, 1618；引自Hawking, ed., 2003, p.648)。
但克卜勒并未说明他怎么得到这个结论，
因此推测是尝试不同的数字组合后，
发现“欸这样刚刚好\(☆_☆)/”就这么用了。
加上这第三个“周期定律”，克卜勒行星运动三大定律于焉成形。
一直到1801年（克卜勒逝世后170年），科学家发现小星行带的存在，
等于验证克卜勒《世界的和谐》一书是正确的，他所说的例外并不是例外，
而是小行星带处于火星与木星轨道之间导致的结果。
至于行星三大运动定律对牛顿提出万有引力，
哈雷发现哈雷彗星的重要性，相信已不需要我再多言。
写了这么多，回到原po的疑问，
“超想问看看他老人家当初是看到了啥才能发现这神奇事”。
答案是他没看到啥特别的，只是精确的观察、检查数据，
大胆提出新的假设、小心谨慎验证而已。
科学发展从来不是靠一个人，也不是一次就得到正确答案，
后辈修正前辈的错误、再被后来的人修正，
哥白尼、克卜勒、牛顿、爱因斯坦、哈伯……
一位一位，叠加成一位巨大的巨人。
每个做研究的人都是站在巨人的肩膀上，
然后期许自己能看得更远一点、成为其他人的肩膀。
最后，分享一段我非常喜欢的影片，现任科博馆馆长孙维新演讲：
人生苦短，何不找些知识的趣味
https://youtu.be/ZMUJ72BEIPY
“科学的发展就是一部认错过程的历史。”
我非常非常喜欢这句话。
科博馆目前有个“漫步太阳系”展（展期至明年02/17），
对天文有兴趣的可以找时间去看看喔。
http://web3.nmns.edu.tw/Exhibits/107/SolarSystem/
没想到之前写的论文有部份在这派上用场，
参考文献中的陈辉桦博士任职于科博馆，是我的口试委员之一。
参考文献
苏明俊、陈辉桦（2001a）。国立自然科学博物馆馆讯165期──天文学家系列：第谷。
取自 http://web2.nmns.edu.tw/PubLib/NewsLetter/90/165/10.htm
苏明俊、陈辉桦（2001b）。国立自然科学博物馆馆讯169期──天文学家系列：刻卜勒。
取自 http://web2.nmns.edu.tw/PubLib/NewsLetter/90/169/10.htm
Hawking, S. W. (Ed.). (2002). On the shoulders of giants: The great works of
physics and astronomy. Philadelphia, PA: Running Press.