推 ACGfans: 第九题虽然算出理论最低八次 不过找不到实际方法 11/17 18:23
→ ACGfans: 有人有详细的方法吗? 11/17 18:24
推 arthurduh1: 一个没注意就没时间想第九题了QQ 11/17 20:33
第9题的难点就在构造, 目标是8次
以下是我的方法,
但因为真的太复杂,
我也不确定有没有地方逻辑错误,
如果有错, 还请版友指证, 谢谢
将60个硬币分成5组,
A1组：9个,
A2组：9个,
B1组：9个,
B2组：9个,
C组：24个
附注, A组 = A1+A2, B组 = B1+B2
第一步：秤A1+A2 vs B1+B2
如果平衡, 表示以下2种情形之一
1个假的在A 且 1个假的在B
2个假的都在C
去第二步
如果不平衡, 表示以下2种情形之一
2个假的都在A或都在B
1个假的在A或B,1个假的在C
去第三步
第二步：秤A1 vs A2
如果平衡, 表示: A,B是真, 2个假的都在C
知36个真币, 要在C组(24个)硬币中找2个假的, 且不知假的是轻是重
=>见情况一, 要秤6次
总共 1+1+6 (第一步+第二步+情况一) = 8次
如果不平衡, 表示: C是真, 1个假的在A 且 1个假的在B
知24个真币, 要在B组(18个)硬币中找1个假的, 且不知假的是轻是重
=>见情况二, 要秤4次
找到B组的假币后, (知其是轻是重),
搭配第二步的结果, 可知另一个假的在A1还是A2, 命名为F
要在F组(9个)硬币中找1个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况三, 要秤2次
总共 1+1+4+2 (第一步+第二步+情况二+情况三) = 8次
第三步：秤A1+B1 vs A2+B2
如果平衡, 表示: C是真, 1个假的在A1+B1 且 1个假的在A2+B2
知24个真币, 要在A2+B2(18个)硬币找1个假的, 且不知假的是轻是重
=>见情况二, 要秤4次
找到A2+B2的假币后, (知其是轻是重),
搭配第一步的结果, 可知另一个假的在A1还是B1, 命名为F
要在F组(9个)硬币找1个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况三, 要秤2次
总共 1+1+4+2 (第一步+第三步+情况二+情况三) = 8次
如果不平衡, 考虑以下2种情形
如果第一步,第三步天平倾向同边,
表示假的在A1或B2 (数量未知), C可能有1个假的, B1,A2 是真的
将A1,B2中重的命名为FH, 轻的命名为FL, B1,A2命名为T1,T2,
并将C组分成2组, 各12个, 命名为C1, C2
如果第一步,第三步天平倾向不同边,
表示假的在B1或A2 (数量未知), C可能有1个假的, A1,B2 是真的
将B1,A2中重的命名为FH, 轻的命名为FL, A1,B2命名为T1,T2,
并将C组分成2组,各12个, 命名为C1, C2
去第四步
第四步：秤C1 vs C2
如果平衡, 表示: C是真, 2个假的都在FH 或 2个假的都在FL
将FH分成2组, 3个硬币, 6个硬币, 命名FH3, FH6
将FL分成2组, 3个硬币, 6个硬币, 命名FL3, FL6
去第五步
如果不平衡, 表示: 1个假的在C1或C2, 另1个假的在FH或FL
将C1,C2中重的分成2组, 9个硬币, 3个硬币, 命名CH9, CH3
将C1,C2中轻的分成2组, 9个硬币, 3个硬币, 命名CL9, CL3
(注意, 假的只可能同在FH,CH 或 同在FL,CL内)
去第八步
第五步：秤FH3+FL3 vs 任6个真币(从T1或T2拿)
如果平衡, 表示: 2个假的都在FH6 或 2个假的都在FL6
去第六步
如果不平衡, 由结果可知假的是重是轻
若是重的, 则FH3至少1个假币, FH6可能有1个假的
改命名FH3为F3, FH6为F6
若是轻的, 则FL3至少1个假币, FL6可能有1个假的
改命名FL3为F3, FL6为F6
去第七步
第六步：秤FH6 vs 任6个真币(从T1或T2拿)
如果平衡, 表示: 2个假的都在FL6
要在FL6(6个)硬币找2个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况四, 要秤3次
总共 1+1+1+1+1+3 (第一,三,四,五,六步+情况四) = 8次
如果不平衡, 表示: 2个假的都在FH6
要在FH6(6个)硬币找2个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况四, 要秤3次
总共 1+1+1+1+1+3 (第一,三,四,五,六步+情况四) = 8次
第七步：F6 分成3, 3秤 (F6x vs F6y)
(注意, 由第五步来时已知假的是轻是重)
如果平衡, 表示: 2个假的都在F3
要在F3(3个)硬币找2个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况五, 要秤1次
总共 1+1+1+1+1+1 (第一,三,四,五,七步+情况五) = 6次
如果不平衡, 表示: 1个假的在F3, 1个假的在F6
再由天平偏向可知是 F6x 还是 F6y 有假币
要在F3(3个)硬币找1个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况六, 要秤1次
要在F6x或F6y(3个)硬币找1个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况六, 要秤1次
总共 1+1+1+1+1+1*2 (第一,三,四,五,七步+情况六*2) = 7次
第八步：秤CH9+CL9 vs T1+T2
如果平衡, 表示: 1个假的在CH3或CL3, 另1个假的在FH或FL
去第九步
如果不平衡, 由结果可知假的是重是轻
若是重的, 1个假的在CH9, 1个假的在FH
若是轻的, 1个假的在CL9, 1个假的在FL
无论那种情形, 都是以下执行2次：
要在9个硬币中找1个假的, 已知假的是轻是重
=>见情况三, 要秤2次
总共 1+1+1+1+2*2 (第一,三,四,八步+情况三*2) = 8次
第九步：秤CH3 vs 任3个真币(从T1或T2拿)
如果平衡, 表示: 1个假的在CL3, 另1个假的在FL
如果不平衡, 表示: 1个假的在CH3, 另1个假的在FH
无论那种情形, 都是执行以下两件事
要在3个硬币(CL3或CH3)中找1个假的, 已知假的是轻是重
=>见情况六, 要秤1次
要在9个硬币(FL或FH)中找1个假的, 已知假的是轻是重
=>见情况三, 要秤2次
总共 1+1+1+1+1+1+2 (第一,三,四,八,九步+情况六+情况三) = 8次
情况一，知36个真币, 要在24个硬币中找2个假的, 且不知假的是轻是重
此情况篇幅有点长, 在此先省略, 版友可以试着构造
如果版友有需要, 我再找时间写上来
情况二，知24个真币, 要在18个硬币中找1个假的, 且不知假的是轻是重
从18个硬币分成9,9两组 分别和9个真币秤
必有一组平衡,一组不平衡
从不平衡的那组可知假的是轻是重
接着要在9个硬币找1个假的, 且已知假的是轻是重
=>见情况三, 要秤2次
共需秤4次
情况三，要在9个硬币中找1个假的, 已知假的是轻是重
选任6个硬币, 3,3 放天平左右秤
如果平衡, 则没上秤的3个有1个假币
如果不平衡, 由已知的条件知道此时重端(或轻端)的3个硬币中有1个假的
依情况六再秤一次, 便可知假币
共需秤2次
情况四，要在6个硬币中找2个假的, 已知假的是轻是重
6个硬币, 3,3 放天平左右秤
如果平衡, 则两端各有一个假的
再依情况六, 分别找出两端的假币
共需秤3次
如果不平衡, 由已知的条件知道此时重端(或轻端)的3个硬币中有2个假的
再依情况五, 找出该端的2个假币
共需秤2次
总结共需秤3次
情况五，要在3个硬币中找2个假的, 已知假的是轻是重
选任2个硬币放天平左右秤
如果平衡, 则秤上的2个都是假的
如果不平衡, 由已知的条件知道此时重的(或轻的)是假币, 没上秤的也是假的
共需秤1次
情况六，要在3个硬币中找1个假的, 已知假的是轻是重
选任2个硬币放天平左右秤
如果平衡, 则没上秤的是假的
如果不平衡, 由已知的条件知道此时重的(或轻的)是假币
共需秤1次