※ 引述《ddtddt (得)》之铭言：
: 第i层楼一共有i个窗户如下图:
: ..........
: ........
: 窗窗窗
: 窗窗
: 窗
: 窗户的开关是有规则的，
: 若两相邻的窗户同为开或同为关，则他们下面的窗户必为关。
: 若两相邻的窗户为一开一关，则他们下面的窗户必为开。
: 如图:
: 关开关
: 开开
: 关
: Q:已知第1024楼有513个窗户是打开的，请问一楼的窗户是开还关?
1 代表开, 0 代表关的话,
两窗户的状态取 xor 相加恰好就会是他们下面那个窗户的状态.
假设已经知道第 i 层的各个窗户状态,
则第 1 层那唯一一个窗户的状态便能一步一步展开成第 i 层的某些窗户状态之和.
举个例子:
x_{3,1} x_{3,2} x_{3,3}
x_{2,1} x_{2,2}
x_{1,1}
x_{1,1} = x_{2,1} + x_{2,2}
= x_{3,1} + 2x_{3,2} + x_{3,3} = x_{3,1} + x_{3,3}
其实系数就是二项式系数(黄色部分),
而且因为我们取的是 xor 加法, 事实上我们只要关心除 2 之后的余数,
也就是奇偶性即可(紫色部分).
帕斯卡三角形取除 2 之余数的极限形状,
会趋近于一个碎形, 也就是 LPH66 大提示的 Sierpinski's triangle. (应该吧@@)