一开始电影Hardy以回忆录的方式回忆Ramanujan的确是令人引人入胜的
"在这个世界上,除了Littlewood之外,我对他比任何人要更怀感激,我同他的交往是我生
活中一段浪漫的插曲,那时候我的困难不是我对他的了解不够,而是了解和感受的太多"
这段话的确在Hardy在哈佛大学演讲中的回忆Ramanujan有被提及,但是这是
一个断章取义的话,Hardy是一个极度诚实理性和客观的数学家,他对Ramanujan许多种种的
不幸和惋惜感到难过,还有不知道Ramanujan回到印度没多久会过世的感到不知所措,Hardy
也许认为Ramanujan的数学生涯才刚起步而已
Hardy对Ramanujan的回忆可能是让他晚年感到痛苦和孤独的原因,他对一个来自
印度受到不足数学教育的天才命运感到唏嘘,他曾写道
"对于Ramanujan工作的重要性也许有歧异,比如他的工作如何得到何种水平的评价,可能
对未来数学产生什么影响? 他的工作不具备那些伟大的工作的简明性和必要性,如果他不
那么怪的话会更伟大一些
Ramanujan所展示深刻的无与伦比的创造力无人能否认,如果他在青少年时期
就被发现并进行培养,他会成为一个伟大的数学家,他会发现更新的而且无疑是更重要的
东西,另一方面他不再是Ramanujan而是一个欧洲教授,失去的也许比得到的更多...... "
在电影中Ramanujan的质数定理不受那些数学家青睐原因是1909年德国
犹太数学家Landau就给出一个证明,虽然Ramanujan的公式是正确的,但是Hardy认为质数
定理这是解析数论的特殊分支,历史已十分悠久,没有给出一个严格的证明就无法对其数学
结构和意义有所了解,并引导下一步的研究,这也是为什么当时剑桥数学家家对Ramanujan
的工作不那么欣赏,因为做出聪明的猜想相较于证明是容易的多,数论很多规则是清晰易懂
但是难以证明,比如著名的歌德巴赫猜想是普通人也可以猜出来的
电影里面Littlewood写给Hardy信件中Ramanujan的质数定理是错的
Hardy曾评价Ramanujan质数定理失败的原因
"由于忽视了复变函数理论,Ramanujan的质数理论是有缺陷的,他的方法依赖大规模
应用发散级数,他的证明站不住脚,这本来应该在意料之中,错误进一步深入许多事实结果
仍然是错误的,他得到经典公式的主要项,但是他们都不是像Ramanujan想像那样精密的近似
可以说这是他一项大失败.....
唯一清楚的是Ramanujan的质数定理是他独自发现的形式,这是值得重视的成就,在
他之前发现这些这个定理的人比如Legendre,Gauss和Dirichlet都是伟大的数学家....."
细究起来,无可避免地,Ramanujan很大一部分工作被认为是超前的,难以想像不利
的条件伴随着他,一个贫穷孤寂的印度人用他的智能和欧洲积累起来的智慧竞争,他根本
没有得到真正的教育,在印度那里没有人可以让Ramanujan从他身上学到知识,充其量只能
见到三四本高质量的书,都是英文的,他生命中有段时间可以进入马德拉斯的图书馆,但是
那不是一个好的图书馆,只能见到几本法文和德文书,而Ramanujan对这二种语言一窍不通,
我估计Ramanujan在印度最好的工作大约2/3只是发现别人的结果,尽管Watson系统地研究
他的笔记本后发掘了更多的东西
Ramanujan发表的大部分工作是在英国做出的,他的头脑已经僵化到某种程度,
以至于他无法成为一个正统的数学家,但是他还是学会做了新的工作并且做得相当不错,
系统教他是不可能了,但是他逐渐吸收了一些新的观点,特别是他学会了证明的涵义,他后期
的论文虽然在某些方面和以前一样奇特和特别,但是读起来已经像是见多识广数学家作品,
不过他的方法和工具实质保持了原貌,一般人会以为像Ramanujan这样的形式主义者会对
Cauchy定理着迷,可是他几乎从未使用他,而且感到对它有丝毫的需要,这是他的数学形式
方面才能的最令人惊奇的证明
事实上Hardy认识Ramanujan的本人时候,他认为Ramanujan没能在18-25岁接受
一流的数学教育感到惋惜,正如电影所播的,那时候Ramanujan年轻的时候因为没有大学学历
所以并没有固定的工作,以至于他必须为了谋生而失去那段头脑可塑时期,Hardy认为他已经
受到了损害,天分再也无法受到充分发展的机会
Ramanujan只是念了一本Carr的数学公式手册,这是一本讨论代数,三角和微
积分的手册,包含6165条定理叙述,这些定理系统十分科学地排列著,附录的证明通常只是
相互参照着,所有Ramanujan的著名的公式(不含证明)笔记本被夸大了,学习笔记本的学生
都能看出Ramanujan展示的观点是从Carr那里复制来的
书中有些章节内容写的不太相称,似乎Carr特别喜爱积分的形式理论,
并没有展示函数论,我十分怀疑Ramanujan到了生命的尽头是否清楚的理解什么是解析函数,
更令人吃惊的是Carr本人和Ramanujan后期的工作都没有发现椭圆函数,不管Ramanujan怎么
关于这些理论特别的知识,他都不是来自于Carr........如果他接触当时著名的分析教
科书Whittaker <<现代分析>>和Bromwich的<<无穷级数>>还没有出现,他的人生会更不一样,
哈代这样评论拉马努金：
“ 他知识上的缺陷和深刻程度同样令人吃惊,他是能够发现模方程和定理的人……
到达前所未闻的地步,他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家，他自己发现
了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项；但他却没有听说过双周期函
数或者柯西定理，对复变函数只有最模糊的概念……
那电影Hardy为何提到Euler和Jacobi呢? 主要是代数方面超几何级数
和连分数的工作显然Ramanujan在无穷级数和变量变换直觉,这点他的想像力和创造可以
和伟大Euler和Jacobi媲美
连分数的工作依赖Rogers-Ramanujan恒等式,其中Rogers名列在前,但是他在别的
方面超过了Rogers,而且我所引用的定理是Ramanujan自己的,他在别的方面超越了Rogers,
而且我所引用的定理是Ramanujan自己的,他还得出许多相当漂亮的公式,其中像Laguerre
公式是及特殊的例子,Watson最近发表有影响力的证明,Ramanujan也许在这些领域做的最好
我以前写到最令人惊奇的是他对于代数公式无穷级数变换等的洞察力,这方面我肯定
从未遇过和他旗鼓相当的人,我只能将他与Euler和Jacobi相比
他从数字的例子归纳得出的结果比大多数现代数学家多的多,例如他关于分析同余
性质都是通过这种方式发现的,但是他将他的计算能力,记忆力和耐心融合成一种概括能力,
一种对形式的感觉和一种迅速修正其猜想的能力,这种通常着实令人惊奇,而且使他在他的
时代,在他自己特殊的领域中,无人与之能匹敌.....
现在我认为这种特别激烈的措辞并非言过其实,公式的伟大时代可能已经结束,
Ramanujan应该在100年前出生,但是他是他的时代最伟大的形式主义者,在过去50年中有
许多比Ramanujan更重要的,我想有人会说更伟大的数学家,然而没有一个数学家有勇气在
自己熟悉的领域面对Ramanujan,如果他懂得比赛规则,Ramanuaja可以轻易让给世界上任何
数学家15分
在分析方面Ramanujan的工作肯定部会给人深刻印象,因为他不懂函数论,离开
函数论就无法从事真正的分析,还有积分的形式部分,所有这些东西他只能从Carr或是其他
的书学到,已经被人反复和深入细致地研究过了,然而他仍然重新发现数量惊人的最优美的
解析恒等式,比如Riemann Zeta函数的函数方程,他用一种几乎认不出来的符号纪录在笔记
中,还有Poisson求和方程,此外还有Abel函数方程......
Ramanujan早期工作中最能引起人们兴趣的最后二个领域,他在椭圆函数和解析
数论方面的工作,第一个(椭圆函数)可能除了专家之外,对其他人来说实在太过专业和复杂
而难以理解,我不打算谈,第二个(解析数论)更困难,读过Landau关于质数和Ingham的小册子
都会知道,而且每个人都能粗略理解为什么这些问题击败Ramanujan,这是他真正的失败,他
像平常那样展开惊人的想像力,但随后他什么也没证明,甚至他的想像是错的
至于谈到宗教信仰
Hardy（无神论者）相信Ramanujan在涉及到形上学的方面基本上是一个不可知论者,
Ramanujan有宗教信仰是仪式的问题而不是理智上的深信,我清楚地记得他告诉我所有的
宗教在他看来或多或少依样真实.....他只是在执行一种无害而且可能是必要的节约
关于Ramanujan的信仰这个问题本身并不重要,但也并非无关紧要,Ramanujan身上有许多
东西难以理解,我们没有必要故弄玄虚,就我而言我喜欢他并且尊重他,希望从理性的角度
看他,我想向你们澄清,当Ramanujan健康舒适地在剑桥生活时,除了他的古怪之外,他和这里
的人一样,是一个理智和健全的人,而且有他那种方式的敏锐
Hardy并认为
Ramanujan的悲剧不在于英年早逝,而是在那不幸的5年中,他的天赋被引向
歧途并且受到束缚并且受到严重的曲解