今天读高等微积分
看到这个定理觉得好爽喔
若有界闭集合F被一组无数多个圆所覆蓋时，则F亦被其中某有限多个圆所覆蓋。
这个定理呢
我们要怎么证明才好呢
首先假设定理不为真
则任取一个正方形Q包含F
再将Q四等分为小正方形时
得知此小正方形中至少对某一个属于F的部分集合不为真
设此部分闭集为F_1
而包含此集合之小正方形为Q_1
继续如此操作
可得一组无限序列之闭集合 F, F1, F2, ... 后者包含于前者中
且随着小正方形而无限的缩小
因此必共有F中之一点P_0
而P_0属于F表示P_0必包含于所在圆中之某一圆的内部
故当n足够大时
F_n随着包含它之小正方形Q_n而使全部均落在此圆内
此结果与F_n有关之假设
即对F_n而言 定理不为真互相矛盾
故定理为真
我们可以注意到
在这个证明中
最重要的是F为闭集合的假设
不然的话
我们无法导出P_0为属于F的点
而且F的各个点一定要包于圆之内部
因为P_0如果是落在圆周上的话
不管n再怎么大 Q_n和F_n都未必会全落于圆内
这样定理的证明就缺乏一股约束力了
这个定理证明的巧思非常厉害
真是令我惊爽