版上关于数学系的文比较少，这篇主要可以让想自学念数研所的人念的时候
比较有方向一点。
我自己的背景是物理系跨考的。
1.成绩
高微 线代 代数
台大 54 55 50 正3
清大 68 54 正取
交大 27 81 正取
成大 63 63 正6
2.准备过程
高等微积分:
Youtuber 推荐: Arthur Parzygnat, Shifrin
讲义: (Rudin) George M. Bergman
(Spivak) GOOGLE Calculus on Manifolds+errata
(上) Baby Rudin(大概花6个月)
这本书是出了名的难读，初学上手很容易不知从何下手，第一章开门见山地介绍
了实数系，第一个证明写了根号2是无理数的证明引入实数系的观念，然后你就想放弃了.
这本书是设计成后面的习题全部或80%以上都是要写的，Bergman教授的讲义把第二到第七
章的习题分类引导给Hint，让你对每一题的想法比较有方向，推荐从引导下手，否则很快
就会想放弃这本书的。
个人是推荐了解第一章的Least Upper Bound. Archimedean Property 就可以前往第二章
了，后面实数系的建构当然也很重要，可以学了一阵子以后再回来看更清楚。第三章有介
绍另一种实数的定义，我自己是先理解了第三章的那个定义，然后再回来念这部分。
第二章的Topolgy跟第三章的Limit基本上贯穿了整本书的内容，我自己是在这两章卡了两
三个月，实在是非常重要的章节，每题的epilson-delta 都要好好的练一次，对于后面的
章节都非常大的帮助，念这两章是我自己最灰心的时候，担心自己以这样的进度会不会念
不完。只要你前面的内容后面的习题都有好好做一遍，后面的章节会过得非常顺。
第四五六七章连续.微分.积分.函数列
由于前面的两章你都巨细靡遗的写过了，这几章的内容已经开始可以慢慢的在脑袋里写
eplison-delta了，因此速度会比较快，但切记如果你觉得哪里有点模糊疑惑或者没办法
自己在脑袋马上想到eplison-dealta 的证明都是还要好好地写下来，千万不要偷懒。比
较难的证明大概是Weierstrass approximation，那个加权平均的概念，是非常重要的一
个证明，可以上网参考陈金次老师的那堂课，有说明了这个定理要证明什么东西，以及广
义版本的证明想法。
不难理解为什么这本书为什么这么被广为流传，是训练逻辑思考跟数学语言的一本非常好
的工具，第二三章是逻辑的出发点，以实数系为例子去推演出后面四章的内容，习题是本
书非常重要的一环，认真的做一定会有收获的，遇到卡住的习题，看不看解答是个Trade
off，如果觉得自己进度差非常多了，那给自己一两天的时间想，想不到就翻解答，如果
时间还很充裕，建议多想个几天，通常要想几天的题目，都是重要的观念，或者可以上
mathstack查，因为Rudin这本书实在太有名了，基本上每题比较难或者讲义过得比较快比
较难的地方，上面有很多人问过了。你不是唯一一个不会的人，因此不用念的太灰心。
(下)Calculus on Manifold (Spivak)(两个月到三个月)
这本书须看完Baby Rudin 及 线性代数学起来会比较轻松
这本书100多页，相同的内容，大概是另外一本书(Munkres)的三分之一，由此可见，作者
实在写得非常地terse，对于很多地方都没有做过多的交代，念的会一肚子火，符号也不
是非常整齐，基本上我个人是觉得他写的感觉像是念完多变量以后他期望学生学会的
Syallabus(为他的下一本书铺路)。本书的错误不少，网络上有整理了一堆上面写得不太
严谨或错误的地方，摁 其实不只这本书，我相信很多的书都这样，算是小缺点。
第二三章搭配着Arthur Parzygnat的影片去读，上面讲述了定理的想法证明的思路等等，
帮助非常大，像是用Diagram的想法去看Chain Rule的证明，非常简洁。
第四章，我自己看Shifrin在Youtube的教学影片学会pull back 跟tensor定义，因此就喜
欢上他的观点了，Shifrin对于很多的概念有比较直观(i.e. 物理上)的解释，对于第一次
学多变量的人是比较好的教材，抽象性虽然比较低，但根本上的内容是差不多的，而且让
你看到题目的时候比较不会不知所措。个人是推荐照着Spivak的骨干去看Shifrin的书，
否则很容易学了一堆定理但是看到题目却什么也不会。除此之外，这章的Differential
forms and integration推荐看陶哲轩在UCLA的上课讲义，对于整套的抽象符号有比较直
观的解释。
这本书(Spivak)，花我最多时间的地方，大概就是在Partition of Unity的部分，我自己
第一次看没怎么看懂，查了一大堆资料后，发现Spivak算是讲得最不"拓朴"的，他应该是
不想引用任何的拓朴观念去处理，所以会让人学得有点雾里看花的感觉。然后这本书考试
前我只写到了第四章的习题，及念完第五章的内容，因此基本上也只会处理基本的多变量
积分...还好大部分的学校也只考了一题。
然后这本书的讲义内容是假设你已经写完前面章节的习题上去写的，因此尽量要写完习题
在进下一章，当然要遇到的时候在跳回去也可以拉，看得懂即可。
如果时间可以倒流，我会直接选Shifrin或者Munkres，然后再读这本。
线性代数(Linear Algebra by Friedberg)(四个月左右)
Youtuber 推荐: 3B1B
这科刚开始唸时，要问著自己一个哲学问题
到底什么是线性代数?
当然每个人的观点可能都不太一样，我想重要的是有自己的观点，然后你的想法是
可以对应上抽象的定义即可。
这本书的习题大部分难度都不高，习题本身的意义比做出来重要。
第一二章的习题大部分可以用基础的集合论以及定义推出来的，要懂得这个抽象的定义是
在描述什么东西，需花不少时间去想，也可以GOOGLE "名词"+"intuition"去搜寻，会发
现新世界。
第三四章有点繁琐，课本内容读懂，习题挑顺眼的做即可，建议在这里要记or懂det函数的
定义算是个重要的观念。
第五章算是本书最难的章节，老实说我也不是弄得非常懂，基本的课本内容，后面的习题
全刷就可以让你走下去了。是说今年台大有考了一个里面的大题组(试题卷的最后一题)，
里面大概分成7题去拆解，是整本书难的非常有印像的题组，第二次读的时候也没弄出来，
因此只能把分数还给老师了。
第六章的2.3.4.5.6小节是一气呵成的章节，可以一起念完在写题目，因为题目实在
太多了，我就上台大的线性代数某年的课程网页，把他们写过的功课写过而已，再加上一
些自己觉得有趣的题目。Btw台大勾的题目的数量是最多的，国外的学校勾比较少题。
这章我自己是略过了9.10.11小节，第8节的内容学完Spivak第四章的Tensor定义后回来
看会更有概念。
第七章，本章的内容建立在Cayley-Hamilton上，因为时间关系跳过了第四小节。
Minimal Poly. 实在是非常重要的概念，基本上浓缩了第五章的内容，考前遇到第五章的
概念或习题都会想用这个概念去做。
代数(Abstract Algebra by Dummit and Foote)(四个月左右)
Youtuber 推荐:Matthew Salomone
很惭愧地只念了群跟环(1234578章)就上去考试了，跟线性代数的念法有点像，这个抽象
的定义在描述什么直观的东西，都是需要知道的，书上也有许多例子去让你参考，线性代
数的基础是必须的，很多例子都是建立在线性代数上的。这本书习题那个鬼神数量，实在
让人很难下手，因此我大概是念完所有内容后，去看考古题，然后找出重要的习题去练。
然后上考场开始默写，这科的重点就是台大数学系网页里有个硕士班考试书里面有给
Syllabus那些差不多就是你要会的或者重要的。
3.结语
我自己是希望考试中，只要你敢出课本上的习题或内容，我就敢写出来给你看，达成率大
概有8到9成。整套数学的旅程我自己是跑了200多天，过程中，除了代数以外，完全完全
不建议看着考古题学，因为看着考古题学很容易抄捷径，想说不考就轻轻带过，小小的观
念模糊都会在后面一直放大而影响后面的学习