一﹐
这道题可以利用解析几何来进行计算﹐
优点是无须动脑﹐思路非常简单﹐水到渠成。
缺点是计算量可能较大﹐且需要三角恒等变换等高中知识。
思路﹕1建系﹐2写出点坐标﹐3求直线方程﹐4求直线交点D和E坐标﹐
5﹐求过点D和E的直线DE方程﹐6根据DE的斜率解出角EDC的值﹐7计算角ADE的值
1﹐在平面上建立直角坐标系﹐可以考虑以BC为X轴正方向﹐垂直于BC且过B的射线为Y轴。
因为本题是角度问题﹐与三角形边长无关﹐所以不妨令BC长度为a﹐或者1﹐或者2也可以
2﹐将A,B,C的坐标表示出来。
B(0,0) C(2,0) A(1,[3^(1/2)]/3)
其中A的纵坐标是3分之根号3﹐在ptt上表述比较困难﹐所以写成了指数形式。
其实写成三角函数形式更好。
利用等腰三角形三线合一求出A的横坐标是1﹐
然后根据30度﹐60度﹐90度的三角形三边比例关系为1:根号3:2﹐得出A的纵坐标。
3﹐将直线BE,AC,AD,BC的解析式表示出来。
这些直线的解析式都属于直线方程﹐非常容易表达。
已知A点和C点坐标﹐可直接用两点式写出AC方程
BC在X轴上﹐直接写出BC方程为﹕y=0
BE正方向与X轴正方向的夹角为10度﹐且过原点﹐因此BE是正比例函数﹐
直接写出BE方程为﹕y=tan(10°)*x
AD过A点﹐且AD正方向与X轴正方向的夹角为290度﹐因此直接用点斜式写出直线AD方程
4﹐E是直线BE和AC的交点﹐D是直线AD和BC的交点
已知两个直线方程﹐求其交点﹐用联立求解﹐这一过程非常简单﹐
直接用联立求解解出 D 和 E 坐标即可。
5﹐已知直线DE上两点D和E的坐标﹐求直线方程﹐
可以直接用两点式写出﹐也可以用待定系数法得出。
不过本题只需要知道DE的斜率即可﹐所以直接根据点的坐标写出直线斜率
k=(Yd-Ye)/(Xd-Xe)
6﹐处理k﹐k是一个带有三角函数的分式﹐我们可以利用三角函数恒等变换对其进行化简
也可以利用反三角函数直接对其进行求值﹐最后算出来k=tan40°
因此角EDC为40度
7所以角ADE为70度
二﹐纯几何方法
用纯几何方法的难度在于观察或者求特殊情况﹐
如果不能观察出特殊情形﹐做出辅助线﹐那就很难入手
优点在于一旦探讨出解题思路﹐那过程将会非常简单
而且本题只需要国中知识即可解出
本题的核心在于观察出三角形ABD的中垂线交点﹕外心O﹐在直线BE上
一旦証明了这一点﹐即可轻松推算出大部分角度
那么解题过程如下
做辅助线﹕在BE上找一点O﹐使得角BAO=20度
这一步实质上是画出了外心0点﹐接下来你只需要証明你画出来的这个O是外心。
因为 角BAO=角ABE=20度﹐所以BO=AO﹐且角BOA=140度。
因为 角BOA=140度﹐角BDA=70度﹐根据等弧对应的圆周角是圆心角的一半﹐
得出 O实质上是三角形ABD的外心 的结论
故而 AO=BO=DO
在三角形AOD中﹐AO=DO﹐又角OAD=60度﹐根据一个角为60度的等腰三角形是等边三角形
得出 AD=AO
又 角AOE=角AEO=40度 故 AE=AO
所以 AE=AD
三角形AED是等腰三角形﹐其顶角为40度﹐
故其底角ADE=(180-40)/2=70度
※ 引述《b339961 (水云渺)》之铭言：
: http://i.imgur.com/blGqOpr.jpg
: 想请教一下这题数学的解，一群人想了2个多小时...离开学校太久了
: 希望能知道如何解还有原理
: 万分感谢...