※ 引述《oooooee ()》之铭言：
: ※ 引述《s58565254 (猜囉)》之铭言：
: : 图中（没附图）
: : 有四个盘子，每个盘子有两个糖果，请问全部有几个糖果？
: : 这题为什么一定要
: : 2*4=8 不能4*2=8
: : 2*4=8的意思不就是
: : 每盘2个，总共有四盘，所以有8个
: : 跟4*2=8的意思
: : 有四个盘子面各有2个糖果，所以有8个
: : 这到底差在哪好里为什么4*2=8列式是错的？？
: 这顺序根本就没差好吗
: 只有特别龟毛的老师才会觉得有差
: 而且这种老师肯定也把假分数扣分，自己规定一定要带分数形式
: 或者是自己课堂规定写1/2，写0.5者扣分
: 回归正传，如果乘法的顺序有差
: 那么
: F=ma
: F=am
: 请问那个老师能指出差异吗?
: 没多少学问的中小学老师才爱找学生麻烦
概要写前面
了解手上操作的东西的定义才能做事
相信公设、熟稔自己操作的东西是个什么，这才比较像数学的本质
这题改错是为了提醒学生要注意算子的定义
可交换什么的不是general case
另外我也不是本科，有错麻烦指正个
运算子的前后一般是有顺序差异的
最常见的例子就是有理数系的“除法”
或说，试着乘上后者的乘反元素
let A!=0 ，B!=0
假如我们写下A/B
依照“/”这个算子的定义我们表达的事情是 A*(b)
也就是“前者乘上(后者的乘反元素)，如果后者不为0元素”
根据我们习惯的乘法公设我们可以知道
因为A、B都不是0元素，所以存在a作为A的乘法反元、b作为B的乘法反元
因为B的乘反元b刚好真的存在的关系，所以这句话我们可以放心地“/”下去
而假如我们写下“B/A”，同样地按照一般的“/”算子定义
我们想要表达的事情是 B*(a)
可以看出两个式子指的是完全不同的事情
不可交换也是很容易可以推得的
另外一个常见的例子是国中引入的、给矩阵使用的“乘法”
在这个例子下我们讨论的是有限维度的实矩阵
所采用的乘法实际上可以视为对左矩阵col取线性组合
也可以视为对右矩阵row取线性组合
总之这个例子我们也可以很快发现这个 矩阵乘法算子 前后operand对调的意思不一样
所产生的结果自然也不一样
还有一个常见的“算子有左右之分”的例子是一般常见的程式语言
// ptt.cpp
int i = 0; // valid.
int 0 = i; // compile error
这里的"="是赋值
很明显的我们不希望常数也可以被赋值，所以compile不会过
这也是个算子前后该放的东西不一样的一个例子
从上面这三个例子我们可以看出
算子本身常常是不对称的
写在哪边的意思差很多
“乘”这个算子也不例外
那么，中文的语句到底该怎么对应到“*”这个运算子的两侧呢？
如果是对应生活化的问题的话
https://goo.gl/tuD4AG
https://i.imgur.com/cK3NdD4.png
“…。等组型题目是先确定每组个数相同，
再将每组的物体聚集在一起，其中涉及单位量和单位数 2 种单位，…”
也就是说，中文而言，我们习惯把“每个单位有多少量”放在乘法算子的前面
“共有多少个单位”放在后面
也就是说，至少对于有理数系，我们定义的“*”的用法是
“把前者累加很多次，多少次呢？刚好后者这么多次”
例如：
kp每天固定抓头抓掉60根头毛，整个十月共抓掉了几根？
这题来说我们想要知道
10/1掉了60根
10/2掉了60根
(ry
10/31掉了60根
60 + 60 + 60 + ... + 60
by definition我们知道这可以写成60*31
by 计算机/表/按照定义算，我们可以知道总共是1860根
因此kp整个十月自己抓掉了1860根头毛
假如要说这个例子要用31*60去算
要嘛学生已经非常熟悉了有理数系交换律
要嘛学生绝顶聪明
他认知到了十月的每天都有第一根头毛掉下来，共有31天，简单加法得到31根
十月的每一天都有第二根掉下来，共有31天，简单加法得到31根
(ry
我要这样做60次，所以我才写了31*60
either case如果附上理由说明的话，我想老师应该会给点分数
常见问题：
Q1:
“外国都不是这样写啊，数学这东西总有且仅有个定义才是对的吧”
me:
首先我很庆幸你有“有且仅有”之类的观念
但是一个数学系统是不需要从同一个定义、同一组公设出发的
尤其在我们基本上可以把这两种系统视为一模一样的系统的时候
例如你开心的话你家的
https://i.imgur.com/0MaUtXY.png
可以定义成前者改成前者自己的乘反元、放到乘法算子前面
后者直接放到乘法算子后面
两者再进行运算
只是这样别人提到a/0会出事的时候
你觉得奇怪的点在于“这很正常啊，奇怪的是0/a这个状况吧”而已
btw 这是因为一般没有定义0的乘反元素
也就是说
刚好就只是外国的“multiplication”算子前面后面刚好跟我们放反边而已
容易验证这两个语言定义的field基本上是同构的 吧…说不定我漏了些步骤
也就是说我们两种看似相反的写法实际上指涉的事情可以说是极尽相似的
加上大家都熟悉了有理数系乘法的交换律
所以平常写前写后都没在管一开始到底怎么定义的
Q2:
实际上先看到四个盘子再看到每个盘子有两个糖果
所以我写4*2
很对啊
me:
麻烦翻一下上面的pdf以及kp头毛例子
如果你不觉得这个定义适合中文使用的话
那么你会回到上面Q1，只有你觉得0/a这句话很奇怪的情况
Q3:
为什么要在小学扯矩阵扯operator扯不可交换环？
实数里面就长这样啊
me:
可是瑞凡
只有谈实数系的话我们缺了很多东西
不如一开始就让学生知道、习惯不是所有符号写在两边都没差的
只有有理数加法跟有理数乘法刚好方便到我们可以乱玩
总而言之，乘法就是个二元算子
给定一个集合，我们可以随意地定义这个算子左右两边的符号该怎么操作
只要它长得够“像”一般常见的实数乘法我们就称作他是“乘法算子”了
甚至讨论的东西里根本没有一般认为的“数”也是没问题的
然而并不是所有集合内都能找到很好的、可交换的结构
这时候我们需要做出些取舍
交换律常常就是一个被丢掉的东西，仅此而已
就算不可交换我们也可以玩出很多花样
最易懂、最常见、又很实用的例子是线性代数
而线性代数入门正是矩阵
因此前面几篇常常可以看到这两个字