#NTÜHater4_73039
定理、
V 是布于 F 的向量空间，dim(V)=n<∞
T:V→V 是一个线性变换，一个特征值为 λ 的特征向量 v∈V 是满足 Tv=λv 的向量，也就是说 v 满足 (T-λI)v=0。
T-λI 不可逆等价于 det(T-λΙ)=0，所以 T 的特征多项式定义为 det(T-xI)，要找到特征值就只要找特征多项式的根即可。如果 λ 是一个根，那 Ker(T-λI) 里的非零向量就是特征向量了，Ker(T-λI) 是 λ 对应的特征空间。
特征空间里的向量，经过变换就只是伸缩而已，还在特征空间里。我们推广这个概念，一个子空间经过变换还在自己里面，就叫不变子空间。如果 W 是 T:V→V 的一个不变子空间，把 T 限制在 W 上则有 T|W : W→W。
回顾行列式的定义，由于 V 是一维的空间 T: V→ V 是乘上一个倍数而已，选一组基底 {v ,…,v }，则我们有 det(T)v … v =Tv … Tv ，显然这不依赖基底的选取。如果 W 是一个 T-不变子空间，选一个 W 的基底 {w ,…,w } 扩充成 V 的基底 {w ,…,w ,v ,…,v }，则
T(w … w v … v )
=Tw … Tw Tv … Tv
=det(T|W)w … w Tv … Tv
=det(T)w … w v … v
这代表 det(T|W) 可以整除 det(T)，而如果 V 是几个 T-不变子空间的直和，则 det(T) 是 T 限制在这几个子空间上的行列式的乘积。T-不变子空间也是 (T-λI)-不变子空间，所以限制在不变子空间上的特征多项式，是整个空间的特征多项式的因式。
给一个向量 v∈V，包含 v 最小的 T-不变子空间可以由 v 生成，当 {v, Tv, …, T v} 是线性独立集，而 T v= a T v，则 {v, Tv, …, T v} 就是包含 v 最小的 T-不变子空间的一组基底。
det(T-xI)v Tv … T v
=(T-xI)T v (T-xI)Tv … (T-xI)T v
= (-x)T v … (-x)T v T v … T v
=(-1) (x - a x )v Tv … T v
既然 F[T] 是一个交换环， (T - a T )T v=T (T - a T )v=0，在 v 生成的 T-不变子空间上 T - a T ≡O，也就是说：
（ - ）
T 带进去特征多项式是零算子。
我们用 χ(t) 表示 t - a t ，则 χ(T)=0。多项式可以分解成不可约的多项式相乘，所以 χ=q …q ，每个 q 是某个不可约多项式 p 的次方，而 i≠j 则 p ≠p 。多项式能作辗转相除法，保证互质（没有非常数的公因式）的多项式能线性组合出 1。所以对于互质的多项式 f, g，存在多项式 h , h 使 h f+h g=1。如果 v∈Ker(f(T))，则
v
=[h (T)f(T)+h (T)g(T)]v
=h (T)f(T)v+h (T)g(T)v
=h (T)f(T)v
综合上述我们知道几件事：
1. Ker(g(T)) 是 f(T) 的不变子空间
2. F(T) 限制在 Ker(g(T)) 是可逆的
3. Ker(f(T))∩Ker(g(T))={0}
如果 f(T)g(T)v=0，那 g(T)v∈Ker(f(T))，根据前两点，存在唯一 w∈Ker(f(T)) 使得 f(T)w=f(T)v，我们得到 v-w∈Ker(f(T))。所以 Ker(f(T)g(T)) 可以分解成两个空间的和 Ker(f(T))+Ker(g(T))，再根据第三点，这个和其实是直和。
既然 V 会被 χ(T) 消灭，即 V=Ker(χ(T))，我们可以把 V 做直和分解 Ker(q (T))⊕…⊕Ker(q (T))，每个都是 T 的不变子空间。
当 F 是代数封闭的体，det(T-xI) 能唯一分解成一次式的乘积。经过整理合并后，如果有一项是 (x-λ) ，则我们定义 λ 对应的广义空间为 Ker((T-λI) )=
{ v∈V | (T-λI) v=0 }
为方便起见，以下用 S 代替 T-λI，即 Tv-λv=Sv 或 Sv+λv=Tv，根据不变子空间的定义和向量空间的加法封闭性，T 和 S 享有相同的不变子空间。S v=0 且 S v≠0 时，S v 属于 Ker(S ) 但不属于Ker(S )，这代表 S v 不能写成 S 次数比 i 更小的那些 S v 的线性组合，所以 {S v, …, Sv, v} 是一个线性独立集。
考虑这个线性独立集生成的 T-不变子空间，相对于这组基底，T=S+λI 限制在上面的矩阵表示是
λ 1 0 … 0 0
0 λ 1 … 0 0
0 0 λ … 0 0
0 0 0 … λ 1
0 0 0 … 0 λ
这样的矩阵叫 λ-Jordan block，对应的特征多项式是 (λ-x) ，既然这是 (λ-x) 的因式，k r，我们可以从 Ker(T )\Ker(T ) 开始选向量构造不变子空间。
在商空间 Ker(S )/Ker(S ) 选一组基底，代表元如果是 {v ,…,v }，那 {Sv ,…,Sv } 给出的等价类在 Ker(S )/Ker(S ) 是线性独立的，因为 S ( a Sv )=0 代表 a v ∈Ker(S )。换言之，在商空间的线性独立会一直传递下去，如此一来，我们能选多个向量来生成不变子空间，而这些不变子空间两两交集都是 {0}。
λ 对应的广义特征空间，可以写成这些不变子空间的直和。商空间 Ker(S )/Ker(S ) 一组基底的代表元 {v ,…,v } 给出 m 个不变子空间，而 {Sv ,…,Sv } 虽然是 Ker(S )/Ker(S ) 一组线性独立集的代表元，但不一定是基底的，所以我们把它扩充成 {Sv ,…,Sv , v , …, v }，是为 Ker(S )/Ker(S ) 一组基底的代表元。
从 k=r 开始，我们反复这个步骤直到 k=1，把代表元的集合取联集，得到 λ 对应的广义特征空间的一组基底
{…, S v , Sv , v , …, S v , Sv , v , … }
相对于这组基底，T 限制在 λ 对应的广义特征空间上，是对角线为 λ-Jordan block 的矩阵。
关于特征值 λ 有几个数字，上述的 r 是代数重数，因为它是 λ 作为特征多项式的重根次数，刚好这也是广义特征空间的维度。而特征空间 Ker(T-λI) 的维度，是几何重数。当几何重数等于代数重数，即特征空间等于广义特征空间，T 限制在上面是 λI。
Jordan basis 就是 V 的一组基底，能让 T 相对于它的矩阵表示，是对角线上为 Jordan block 的矩阵。当所有特征值的几何重数等于代数重数，T 就是可对角化的。
投稿日期： 2024年1月28日 03:13 CST