由于多数同学对排列组合感到困扰，我想试着写些详解，
让同学抓到一些解决排列组合问题的想法与脉络，随手选
了 106学测单选7 来写详解，这题即使是高分群（前33%）
也只有 40%的答对率，从选项分析来看错答选项几乎平均
分配，感觉就像是随机猜答似的，因此这题对整体考生而
言绝对不算是简单的题目。以下附上题目及我写的详解，
想知道这样的写法对于不擅长排列组合的同学有无帮助，
欢迎给予各种指教，谢谢。
【106学测单选7】
小明想要安排从星期一到星期五共五天的午餐计画。他的
餐点共有四种选择：牛肉面、大卤面、咖哩饭及排骨饭。
小明想要依据下列两原则来安排他的午餐：
（甲）每天只选一种餐点但这五天中每一种餐点至少各点一次
（乙）连续两天的餐点不能重复且不连续两天吃面食
根据上述原则，小明这五天共有几种不同的午餐计画？
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84
【解答】
这是星期一到星期五的计画，我们可以在纸上画个简表
┌────────────────────┐
│ 一 二 三 四 五 │
│ │
读完（甲）条件，我们要知道两件事情：
第一、有五个“不同”的日子，而且每一个不同的日子“
要刚好选一样”餐点，所以这是排列问题。
第二、因为只有四种餐点，而且每种至少要点一次，所以
必然有一种餐点会重复，此时我们知道会有四种可
能的分类。
读完（乙）条件，要知道这题目有两个“反面限制”：
第一、连续两天餐点不能重复，用排列的角度来看，其实
就是“相同物不能相邻”。
第二、不连续两天吃面食，用排列的角度来看，也是“某
些物不能相邻”的条件。
一般来说，如果只有“一组”不相邻的反面限制，可以用
插入法解决就好；如果有“两组以上”不相邻反面限制，
用“取舍原理”处理会好一些。但“取舍原理”对大部分
的同学来说是不容易理解也不容易想到的方法，以下我们
先用“穷举讨论”的方法来处理这两个反面限制，再使用
取舍原理处理一次。
我们先从条件（甲）开始讨论起，有四种重复的可能：
牛牛大咖排、牛大大咖排、牛大咖咖排、牛大咖排排。
因为中文书写较为麻烦，考试时同学应该适时地转化为符
号表示，以下我们用 aabxy, abbxy, abxxy, abxyy 作为
讨论。为何要用 ab 和 xy 而不用 abcd 呢？同学在看完
条件（乙）后，要能够知道题目对于“面”和“饭”的处
理方式是不一样的，因此我们用 ab 和 xy 差异较大的符
号来作分类，较符合直觉的感受，比起排列 abcd 更能够
直觉地感受到题目对饭与面的差别对待。
先排列 aabxy，因为题目要求面不能重复，aab 势必要完
全分开，因为只有 5 个位置，所以排列方式必然为
a_a_b
的形式，其中 aab 的排列可能为 aab、aba、baa 有 3 种
排法，而空格可以填 xy 和 yx 有 2 种排法，所以共有 6
种排法。再排 abbxy，道理和 aabxy 相同，所以也有 6 种排法。
接着排 abxxy，由题意可知 ab 不能相邻 xx 也不能相邻，
看起来是很麻烦的条件，很多同学不知如何是好，可能就对
着题目发呆或跳过了，事实上，同学一定要“动笔写出来试
试看”才有机会解出题目，我们就先把 ab 不相邻的所有可
能列出来吧：
a _ b _ _
a _ _ b _
a _ _ _ b
_ a _ b _
_ a _ _ b
_ _ a _ b
因为只有 5 个位置，所以就算全部列出来，也不是很困难的
事情。但要注意，以上列的是 a 前 b 后的情形，还有 b 前
a 后的情形别忘了。列出来后，我们插入 xxy，只要注意
xx 不相邻就好了。因为剩下来的工作已经很少，我们只要
依序看着列出来的 6 种情形，插入 xxy 各有几种排列方式
就好，没有必要再把 xxy 的所有可能写出来。
a _ b _ _ 插入 xxy 且 xx 不相邻有 2 种方法；
a _ _ b _ 插入 xxy 且 xx 不相邻有 2 种方法；
a _ _ _ b 插入 xxy 且 xx 不相邻有 1 种方法；
_ a _ b _ 插入 xxy 且 xx 不相邻有 3 种方法；
_ a _ _ b 插入 xxy 且 xx 不相邻有 2 种方法；
_ _ a _ b 插入 xxy 且 xx 不相邻有 2 种方法。
由以上讨论可知共有 12 种方法，但别忘了，还有 b 前 a
后的情形，所以 abxxy 符合题意的排列一共有 24 种。同
样的道理， abxyy 也会有 24 种。综合以上讨论，我们就
有 6+6+24+24=60 种不同的方法。
以上的方法是“根据题目的条件，一步一步慢慢达成题目
的要求”，因此我们分了好几个步骤来处理，其实这才是
排列组合最重要的精神。大部分的题目，只要“分成适当
的步骤”就能解决了，背了很多题型和公式却不知如何运
用，反而拿不到分数。
排列 abxxy 时，有两个反面限制，ab 不相邻且 xx 不相
邻，能力较强的同学可以考虑使用取舍原理，也就是：
（ab 不相邻且 xx 不相邻）的方法数
= 所有的方法数 -（ab 相邻）的方法数
-（xx 相邻）的方法数
+（ab 相邻且 xy 相邻）的方法数
再分别把上式的各种方法数求出来就好。
所有的方法数 = 5!/2! = 60
即abxxy 不尽相异物的排列
ab 相邻的方法数 = (4!/2!)2!= 24
即 (ab)xxy 排列：先外部排 ()xxy 再内部排 (ab)
xx 相邻的方法数 = 4!= 24
即 ab(xx)y 排列：先外部排 ab()y 再内部排 (xx)
ab 相邻且 xx 相邻的方法数 = 3!2! = 12
即 (ab)[xx]y 排列：先外部排 ()[]y 再内部排 (ab) 和 [xx]
因此 abxxy 共有 60 - 24 -24 +12 = 24 种排列方法