※ 引述《leopika (莱奥˙波卡)》之铭言：
: https://www.threads.com/@gu_p_p_/post/DPKmErAE37i?
: 去你的二次元，难道喜欢二次原就能合理的霸凌一次元吗
: 去你的追星族，难道喜欢三次元就能合理霸凌二次元吗
: 去你的相对论物理学家，难道喜欢四次元就能合理霸凌三次元吗
: 去你的线性代数，难道喜欢 n 次元就能合理霸凌 n - 1 次元吗
哈哈！把“喜欢三次元（偶像）的霸凌二次元（动漫）”这个概念，一路延伸到线性代数的维度战争，这个想法真的很有趣。当然，在数学的向量空间中，三次元空间并不会真的“霸凌”二次元空间，但我们可以为“霸凌”下一个有趣的数学定义来探讨这个问题。
首先，我们来定义看看，在向量空间中“A 霸凌 B”是什么意思。一个好的比喻是“支配与控制”。如果 A 能够完全支配 B，就代表 A 的本质（基底向量）能够完全描述、建构出 B 的一切。因此，我们可以将“A 霸凌 B”定义为：“取任意一组 A 的基底 (basis)，都能张成 (span) 整个 B 空间。”
这个定义背后有很强的意涵。第一是权力不对等：A 的维度更高，拥有更多的自由度。第二是完全支配：A 的基本元素就能“创造”出 B 的所有向量，这代表 B 的所有可能性都已经被 A 包含在内了。第三是无可避免：无论 A 如何选择自己的代表（基底），它依然能控制 B 的全域，暗示这种支配是内在的、无法摆脱的。
要满足这个霸凌条件，其实等价于一个非常严格的数学关系：B 必须是 A 的子空间 (subspace)，也就是 B subset A。理由很直接：任何 A 的基底，它所能张成的空间就只有 A 本身。如果它要能张成 B，那 B 势必得完全落在 A 的领域之内。
那么，高次元真的能自动霸凌低次元吗？现在问题变成：是不是只要一个空间的维度是 n，它就必然能“霸凌”一个维度为 n-1 的空间呢？也就是说，一个 (n-1) 维的空间，天生就注定是一个 n 维空间的子空间吗？
答案是：否定的。
我们可以透过格拉斯曼公式 (Grassmann's formula) 来反驳这个论点。假设 A 和 B 都存在于一个更大的 N 维环境空间中，例如我们的宇宙就是一个 N>=3 的空间。
令 A 的维度 dim(A) = n，B 的维度 dim(B) = n 1。格拉斯曼公式的一个推论告诉我们两个子空间交集的维度：dim(A intersect B) >= dim(A) + dim(B) - N。代入我们的例子，就得到 dim(A intersect B) >= n + (n-1) - N = 2n - 1 - N。
如果我们把 A 和 B 放在“一般位置”(general position)，它们的交集维度就会是这个下界。这代表只要我们身处的环境空间 N 足够大，例如取 N >= 2n-1，我们就能让 dim(A intersect B) = 0。
dim(A intersect B) = 0 的意思是 A 和 B 除了零向量（原点）之外，没有任何共同之处。在这种情况下，B 显然没有完全被包含在 A 里面，因此 A 无法张成 B，前面的“霸凌”条件也就不成立了。
这里有两个直观例子。
第一个是三次元 vs 二次元 (n=3)。要让三次元 (A) 和二次元 (B) 的交集为 0，我们需要一个维度 N >= 2(3) - 1 = 5 的环境空间。在这个五维空间中，我们可以取 A = span(e1, e2, e3)（由前三个标准基底张成的空间），并取 B = span(e4, e5)（由后两个标准基底张成的空间）。这两个空间除了原点外完全不相交。因此，B 并没有被 A 包含，三次元空间 A 无法“霸凌”二次元空间 B。
第二个是二次元 vs 一次元 (n=2)。要让二次元 (A) 和一次元 (B) 的交集为 0，我们需要一个维度 N >= 2(2) - 1 = 3 的环境空间。在我们熟悉的三维空间中，我们可以取 A 为 xy-平面 (A = span(e1, e2))，并取 B 为 z-轴 (B = span(e3))。这个平面和这条线只在原点相交，直线 B 并没有完全落在平面 A 里。因此，二次元空间 A 也无法“霸凌”一次元空间 B。
所以，结论就是：维度高不代表能为所欲为。
让我们回到最初的霸凌问题。仅仅因为一个空间的维度比另一个空间高一维，并不代表它自动拥有“霸凌”对方的权力。要达成我们所定义的数学霸凌（即完全的支配与包容），那个低维度空间必须刚好是高维度空间的一个子空间才行。
换句话说，你不能因为自己是三次元，就理所当然地认为可以欺负二次元。除非那个二次元本来就活在你的次元之内，否则你们很可能只是在一个更宏大的宇宙中，各自安好的独立存在罢了。