看到有人问为何氢原子由波尔模型和海森堡不确定原理
各自算出的基态能相同
一般谈波尔的量子化条件 会用驻波的概念解释
不过一开始波尔没有物质波的概念
在正式的量子力学被发现以前
波尔的量子化条件被推广成
Bohr-Sommerfeld量子化条件∮pdq=nh
这个式子在矩阵力学发展时
把式中的量置换成矩阵元素 可猜出对易关系[x,p]=ih
由对易关系可推出不确定原理
所以为何两种方法得出的基态能相同
原因之一是其实都用了类似的量子化条件
不确定性原理的意义是
当电子非常靠近原子核 也就是形成非常局域的波包
需要用不同波长(动量)的波(叠加)进行相消干涉才能构筑
而p平均=0, p不确定度就和动能大小相关
所以位置与动量的不确定性互相竞争,而有最小不确定性的基态
J=∮pdq=nh反应的是
粒子轨迹在(p,q)相空间中呈封闭曲线所围的面积
在古典力学中 J随着参数缓慢变化下(τ’很小)的变化很小[ΔJ~O(τ’)]
被称为某种不变量,并成为量子化的对象
统计力学计算的微观态数量正比于相空间中占据的面积
需要除以h(=ΔpΔx)才能正确计算数量,也可视为不确定性的展现
一般而言 相空间中所围面积越大的曲线对应的运动 其能量也越大
基于面积量子化,会有最小面积对应的运动的基态能
或者借用热力学 能量E和熵S常为monotone 的对应关系E(S)
如果S≧0又是离散计算的, E自然有最小值