拉普拉斯/傅立叶变换之类的线性积分变换
可以不严谨的用矩阵作用在向量的变换做类比
为何微分方程常用拉普拉斯/傅立叶变换协助求解？
如果把线性微分方程写成某个线性算子L作用在函数y
假设微分方程Ly=0具有某种对称性
意思是经过某个变换(命名为R)后 方程的形式不变
也就是RLR*=L <—> RL=LR
那么L和R往往有共同的特征函数,可以同时对角化
所以求解线性微分方程,常常就是找出所有可能的R
找出对应的特征函数,并取其张量积、线性组合表示通解
而拉普拉斯/傅立叶变换用到的指数函数
就是微分算子(D)的特征函数
例如在ODE (L’y=0) 有DL’=L’D
所以拉普拉斯/傅立叶变换就是在对线性微分方程做对角化
因而能简化求解
D对应的是什么对称性？微分算子是平移变换的无穷小生成元
也就是如果对y做无穷小的平移变换 变化量正比于Dy