https://projecteuler.net/problem=137
定义 AF(x) = x F_1 + x^2 F_2 + x^3 F_3 + ...
其中 F_k 是第 k 个费波那契数 (F_1 = F_2 = 1, F_k = F_{k-1} + F_{k-2})
可以发现 AF(1/2) = 2
我们说 AF(x) 是“golden nugget”如果 AF(x) 是正整数且 x 是有理数
例如，第十个 golden nugget 是 74049690
求第十五个 golden nugget
防雷
我们有
AF(x) = x F_1 + x [ (F_0 + F_1)x + (F_1 + F_2) x^2 + ...]
= x F_1 + x AF(x) + x^2 AF(x)
可得出
AF(x) = x / (1 - x - x^2)
当 AF(x) = a 时，有
ax^2 + (a+1)x - a = 0
x 是有理数若且唯若 (a+1)^2 + 4a^2 是平方数
令他是 k, 就有 5a^2 + 2a + 1 - k^2 = 0
接着我就卡住了，看起来像某种 Pell's equation 可是我不会解
想了好一阵子想不出来之后手贱把前几项丢到 OEIS
结果直接跳出公式剧透到我脸上... 超后悔
公式似乎是 F(2n) * F(2n+1)
查了一下其他人的作法，大部分是硬找规律直接得到公式
不过有人是用 general Pell's equation 做
看来我如果走原本的方向再用力一点可能就解的出来了
QQ