把以前的旧文拿来贴
因为已经被消失惹:0000
其实所谓现行的π
大家应该都知道有很多做法
像是常见的
1.利用泰勒级数爆开
2.把圆分成无限等分 然后用1/2absinθ去逼近π的值
不过网络上面有一个很有趣的作法
推荐给各位参考参考
简而言之
这个方法的主要目的就是找格子点
何谓格子点(Lattice point)? 就是在笛卡尔座标系上X,Y都是整数数值的点
我们可以先观察 在圆的半径从1开始每次加1后
会穿过的格子点分别是
Radius^2 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Lattice points 数量: 1 4 4 0 4 8 0 0 4 4
乍看之下 感觉没什么规则
可是其实我们可以把这些不同的半径分类
像是以半径平方为25为例
碰到的格子点有:(0,5) (0,-5) (5,0) (-5,0) (3,4) (3,-4) (-3,4) (-3,-4)
(4,3) (4,-3) (-4,3) (-4,-3)
总共有12个格子点
可是如果半径平方式11
那他一个格子点都不会碰到
换句话说 没有两数平方和会等于11
下一步 我们引入复数 也就是高斯平面的概念
假设我们(3,4)为例子 在高斯平面上面我们可以把他写作3+4i
然后高斯平面的操作就先不赘述
简而言之 可以透过乘以他的共轭复数或者市长的很像的复数做变化
而在进行这些变化的时候 得出来的乘积刚刚好就是3^2+4^2=25
因此可以透过这些方法找到 固定圆的半径时所有的格子点数量
这些格子点转换成高斯平面上的复数 称之为 Gausian Integer
现在来讨论质数这东西
把一个数字质因子分解
可以得出几乎是只有一个解答
像是60=2^2*3*5
不过因为我们也可以把其中的质数转换成为负数
因此他的分解也有多种模式
回到高斯integer
Gausian integer也可以进行类似的操作
像是(3+4i)和(-3+4i)之间的关系一样
可以运用此作法得出所有的组合
至于组合数就是排列组合算一算就可以得出来
像是5 我们可以写作(2+i)(2-i)
我们便称其中的(2+i) 及 (2-i)为高斯质数
因为他们不像5一样可以在被拆解成更小的Gausian integer
透过这项定义 我们可以发现 如果是除以4余1的质数
他们都可以被拆解成为高斯质数 所以他们本身不是高斯质数
也就是说如果他们是画在高斯平面上的圆形 他们必定会碰到格子点
我们现在总算开始归类的
把归类的索引视为χ
如果除以4余1的话 归类为χ(1)=χ(5)=χ(9)=>1
如果除以4余3的话 归类为χ(3)=χ(7)=χ(11)=>-1
至于偶数的话就归类为χ(2)=χ(4)=>0
会这样归类的原因是
像上述 除以4余1的数字可以分出新的Gausian integer
可是如果是除以4余3的话 什么都分不出来
穿插一个重要的点 χ本身是可以相乘的
因为如果一个除以4于1的数字 乘以 除以4余3的数字
最后会得到除以4余3的数字
原理来源是因为mod
像是要找半径平方是45的圆形所通过的格子点
我们会把它拆解成 3^2*5
而他的格子点数量算法是
4(χ(1)+χ(3)+χ(3^2))*(χ(1)+χ(5))
=4(χ(1)+χ(3)+χ(5)+χ(9)+χ(15)+χ(45))
=4(1-1+1+1-1+1)
=8
所以我们终于可以用质数 也就是质因子分解表示格子点数量了
最后 我们把它画成几何的概念
计算一个圆形所包括的面积 有点像是找一个半径超大的圆形里面的格子点总和
我们整理一下所有数字的格子点数
可以发现有下列规律
https://imgur.com/1C84ZSx.jpg
而格子点的总数的算法便是
https://imgur.com/EPfxGqW.jpg
最后 当圆形的半径逼近无限大时
π便是上图的数字和
source:https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY