让我们看一下教室里上新数学课的情形。
教师在问：“为什么 2 + 3 = 3 + 2 ？”
学生毫不犹豫的回答：“因为两者都等于 5。”
老师带着责备的口吻说，“不对，正确的答案是：因为加法是服从交换律的。”接着问，
“为什么 9 + 2 = 11？”
学生又立即回答：“9 加 1 是 10，再加 1 就是 11。”
“又错了，”老师大声喊著说。“应该说是根据 2 的定义，我们得知
9 + 2 = 9 + (1 + 1)
再根据加法结合律，有
9 + (1 + 1) = (9 + 1) + 1
再从 10 的定义得知 9 + 1 是 10，又从 11 的定义得知 10 + 1 是 11。这才是正确答
案。
显然这一班学生表现不够好，于是教师提了一个较简单问题，“7 是一个数吗？”学生被
这样简单的问题弄糊涂了，认为简直不值得回答；但是由于对老师习惯性的服从使然，一
致肯定的答对。这可把老师吓呆了。“假如我问你们是谁，你们怎么回答？”
学生现在都战战兢兢地不敢贸然作答，不过一位比较胆大的孩子还是说了：“我是罗拔史
密斯。”
老师像是不肯相信，用谴责的口气回答道，“你说你是罗拔史密斯这个名字？当然不是！
你是一个人而你的名字才是罗拔史密斯。让我们再回到先的问题：7 是一个数吗？当然不
是！7 祇是一个数的名字。5+2，6+1，8-1 都是这一个数的名字。符号 7 祇是代表这个
数的一个数字罢了”。
老师发觉学生对这种区分不能接受，便试用另一种方法。她问道，“3 这个数是 8 这个
数的一半吗？”虽然她又自己答说：“当然不是！但是数字 3 确是数字 8 的一半，8 的
右半边”。
此时学生们几乎要冲口说出，“那么究竟什么才是数？”不过由于一再答错，他们已不再
有勇气与心情发问。这点倒是帮了教师一个大忙，因为要真正解说什么是数，实在超出了
这位教师能力之外，有关数的正确解说也是无法为这批学生所理解的。从此以后，学生都
会小心翼翼地说：“7 是一个数字，不是一个字”，至于什么是数，学生就永远不得而知
了。
老师倒没有被学生一再出错的回答所困扰，又再问道，“我们应该如何才能正确地表示出
，介于 6 和 9 之间的所有正整数？”
一个学生答道，“不就是 7 和 8 嚒！”
“不对”教师回答著说。“应该说是所有大于 6 的正整数集合和所有小于 9 的正整数集
合的交集”。
集合的用法就以这类方式传授给学生，并认定这样才算是精确。
当这位迷信精确语言价值的教师想问学生，一堆棒棒糖是否和一帮女孩子数目相等这个问
题时，于是他这样问学生，“棒棒糖的集合与女孩子的集合问是否存在一个一一对应的关
系呀？”结果可想而知，学生对这个问题不会有任何反应。
教师仍不气馁，又提出一个问题：“用 4 除 2 是多少？”
一个聪明的学生立刻答道：“负 2”。
教师诧异之余就反问，“这个答案，你是怎么得来的？”
“是这样的”，学生说，“你曾经教过我们，除法就是连减，所以我从 2 减去 4，就得
到负 2。”
这些可怜的孩子，放学后，实在应该稍为轻松一下，可是家长却急即想知道他们的孩子在
课业上有了些什么进步，于是又向他们查询。一位家长问他八岁大的孩子，“ 5+3是多少
？”他得到的答案是，根据交换律 5+3=3+5。家长大吃一惊不得不换另一种问法：“那么
，5 个苹果和 3 个苹果，是多少苹果？”
这个小孩不太懂得“和”就是“加”的意思，所以就问，“你是说，5 个苹果加 3 个苹
果？”
这位家长连忙答是的，并期待着回答。
“啊”，孩子答道，“不论你说的苹果，梨子或书本，都没有关系，在任何情形下
5+3=3+5”。
另外一位父亲关切小儿子的算术学得怎么样，就问他情形还好吧。
“不很好，”孩子回答说，“老师不断的与我们讨论结合律，交换律及分配律。但我只知
道去加，并且计算出正确的答案，所以老师对我不满意”。
这些小小的例子，或许说明了目前所谓现代数学或新数学课程的一些概况。至于这项课程
的主要特征以及优缺点，我们随后将细加研讨。
不过在下一章，我们先对“旧”数学的课程作一简单的介绍，藉以了解究竟是什么课程上
的缺失，方才促使“新”数学的发展。
(Morris Kline,《新数学为何失败》)