理论力学中的拉格朗日量为何是那种形式
也许可从量子理论当基本假设出发来看
确切的说 拉格朗日量L可从哈密顿量H的legendre转换得到
哈密顿量是广义的能量函数 比较直观
若已知量子态跃迁(i->f)机率幅正比于<f|e^(-iHt/h)|i>
将I=Σ|x><x|=Σ|p><p| 代入 并利用 <x|p>~e^(ipx) (可从x,p的对易关系推得)
原式可改写成∫D(x)D(p)e^(i/h)Σ[pΔx-H(x,p)Δt]
将p积分可得路径积分形式, 但不直接积而是取近似
利用h->0,对积分的主要贡献项来自sup{ p(Δx/Δt)-H(x,p) }
恰好就是H的legendre转换
原式近似为∫D(x)e^(i/h)(∫Ldt) 利用h->0亦可得最小作用量原理
也就是说L是H的legendre转换
和量子力学中的x,p对易关系及h->0古典极限有关