博多-由布院的特急自由席要4110圆，指定席要4640圆，再加上你还有前往下关及门司的需求，应该还是要买JR的北部九州版的铁路周游券吧。另外从由布院离开后也可考虑由大分方向去大分别府玩或去小仓住，也方便隔天去下关及门司港。不过建议你还是先考虑一下利用什么交通工具对你而言会比较方便，尤其九州的高速巴士也很发达，从福冈机场就可以前往许多景点，例如福冈机场国际线航厦就可直接搭乘往由布院、太宰府等方向的巴士（往由布院的巴士要预约），也省去转到国内线航厦再进市区的交通
http://www.nishitetsu.jp/bus/highwaybus/rosen/第二天的筥崎宫你应该是要利用JR或福冈市地下铁而不是西铁，赤坂、中洲川端也都是福冈市地下铁的车站。第三天 唐户市场这天有活きいき马関街的餐饮活动，时间是从早上10点开始，可以先去看看下关的一些历史建筑及赤间神社，接近中午再过去唐户市场。