※ 引述《Dawsen (好友名单不见了啦...)》之铭言：
: ※ 引述《darkseer (公假中)》之铭言：
: : 设条件成立但A>B (显然A>=B)
: : 首先有A(p)>=B(p) iff [A/p]=[B/p]+[(A-B)/p] for every prime p.
: : 设C=A-B 则有 [A/p]=[B/p]+[C/p] for every prime p.
: : 由于此时B,C已有对称性, 不失一般性设B>=C
: : 考虑连续整数 {1, 2, ..., C} 和 {B+1, B+2, ..., B+C}
: : 对任意p, 可知上面两组连续整数中被p整除的数有一样多个(因[A/p]=[B/p]+[(A-B)/p])
: 这之后不太懂
那是我没写完整XD
完整的证明写起来有点长, 而且蛮难表达的..
如后:
: : 以对每个p的幂次来比较两组连续整数的积
设{B+1, B+2, ..., B+C}中被p整除的数被p除后商分别为b_1,b_2,...,b_n
则{1, 2, ..., C}中被p整除的数被p除后商分别为1,2,...,n
(显然b_1, b_2, ...,b_n为连续整数)
设{B+1, B+2, ..., B+C}中p的幂次最大者为B(p)=p*b_i
则 {B+1, B+2, ..., B+C}中p的幂次和 - {1, 2, ..., C}中p的幂次和
= {b_1, b_2, ..., b_n}中p的幂次和 - {1, 2, ..., n}中p的幂次和
= {b_i, 1,2,...,i-1,1,2,...,n-i}中p的幂次和 - {1, 2, ..., n}中p的幂次和
<= {b_i, 1,2,...,n-1}中p的幂次和 - {1, 2, ..., n}中p的幂次和
= b_i中p的幂次 - n中p的幂次
<= B(p)中p的幂次 - 1
又{1, 2, ..., C}中没有大于C的质因子=>{B+1, B+2, ..., B+C}中没有大于C的质因子
故有(B+1)*(B+2)*...*(B*n) / 1*2*...*n
= 对所有质数p的下式的积
p ^ ( {B+1, B+2, ..., B+C}中p的幂次和 - {1, 2, ..., C}中p的幂次和 )
= 对所有<=C的质数p的下式的积
p ^ ( {B+1, B+2, ..., B+C}中p的幂次和 - {1, 2, ..., C}中p的幂次和 )
<= 对所有<=C的质数p的下式的积
p^(B(p)中p的幂次) / p
<= (B+C)*(B+C-1)*...*(B+C-k+1) / 1*2*..*k = C(B+C,k)
: : 会发现后者的积除前者的积 <= C(B+C,k) 其中k表示1,..,C中的质数个数
: : 然而后者的积除前者的积 = C(B+C,C)
: : 于是 C(B+C,C) <= C(B+C,k), 但(B+C)/2 >= C > k 矛盾 (其中C(n,m)为组合数)
: : 细节我没时间打了..不过我检查了不少遍,应该没问题