想请问第八题（1）：
https://i.imgur.com/BKcr083.jpg
关于实对称矩阵有很多性质
且我目前熟悉的是 有以下：
1. 可正交对角化（orthogonal Q)
2. 其特征值必为实数
3. 根据1.和 Jordan form的内容可知
不同特征值产生的特征向量空间
必然都互相垂直
如题，如何能确定...特征值必正？
然后这种状况 又容易混淆 （半）正定性

你看错题目意思了，题目就是在讲如果正定，这两个条件就等价如果有(1)就有(2)，有(2)就有(1)

哦哦，所以两个去互推（若且为若）就行了吗？

嗯，我第一行“正定”这两个字算是多的应该说成是你想知道实对称是否正定，这两个条件判断其中一个就好

另外想请问 如何确定实矩阵的特征多项式=0 会有全为实根因为在对称矩阵上总是说“如果有特征值 则必为实数”但能保证 特征值的存在性似乎也不能用实数回推有特征值（否则就循环论证）

你的问题其实就是实矩阵的特征值是否一定是实数这个答案是错 需要加上Hermitian的条件才会对另外存在性的问题要看你去哪里找这个特征值一个实矩阵的特征多项式一定是实系数多项式n次实系数多项式一定有n个复数解 且虚根会成对Hermitian矩阵特征值一定是实数的证明完全可以从复数空间推论 所以没有问题

就实数来说 Hermitian的确和对称同义n次实系数方程式一定有n个虚数解，且虚数成对存在，因为这样相乘之后系数才会是实数，这边的解就是特征值这是方程式的基本原理，不用想到线代这么复杂的部分

Hermitian不只是有实根，是全部都实根这有讲到Hermitian矩阵都会证明啊Ax=λx，xHAx=λxHx，而xHAx因为与其共轭相等，所以是实数，也因此λ是实数

我懂你的意思了，但是我不太清楚怎么从那个角度去证明，只能写出以下通式证明，希望能有帮助要注意，实对称这个条件，而不是实矩阵就好http://i.imgur.com/alHtijK.jpg

实对称本身就是Hermitian，你既然接受Hermitian的根都是实数，那实对称的根当然也都是实数，这跟那特征方程的关系已经不大了

二次型就是xTAx啊，“正定”指的的就是二次型的正定

二次型式就是你笔记第四点那个呀