题目在这
https://i.imgur.com/tSuTp4o.png
前面求N(T)的Basis没有问题，问题出在后面求R(T)的Basis
我知道老师利用维度定理解出R(T)是三维，但为什么他可以直接取
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1) 当作基底呢??
不是应该要按照前面的定理(图片的右方)，先在原本的地方找一组基底(四维)
利用Im(T) = Span(T(s)) 去求出 Im(T)的Basis吗??
这边再提出几个疑问，请问老师教的这两个定理，是可以互相通用吗??
如果题目是 V->V 只能用第一个Span(T(s))的方式求基底，
或是V->V' 那就必须使用维度定理??
再请各位大大帮忙解答了，谢谢。

因为已经知道是R^3里面的3维子空间，所以必定是R^3既然如此，在R^3里面随便找三个线性独立向量就会是基底你就算用基底射到基底的方式找到另外三个独立向量张开的空间明显一样，只是多此一举

我有试过用基底射到基底的方式找到 另外一组基底请问这个基底也可以当作答案吗??

当然可以

所以老师前面的例题https://i.imgur.com/Oapo1jA.png其实可以停在找到(1,0) (0,1)为R^2的基底就是答案没必要在继续往下做了是吗??

因为前面已经说了nullity是0，所以dim(Im)=2的确是没必要继续做了但这些都是因为nullity为0才这么好做而已，没必要深入应该说刚好跟整个空间一样大

这边想再请教一下我这样的观念有没有错nullity由自由变量个数判断，rank由 Pivot个数判断

rank就是pivot个数，而不是pivot的变量就是free所以nullity的个数跟free一样

不好意思，不太懂这句的意思"pivot的变量就是free"

至于另一种想法是每个free都可以让你写出一个ker的向量不是pivot的variable就是free variable

谢谢大大耐心地回答，受益良多^^

你可以看看前面章节，关于通解、特解、其次解的内容，应该可以解决你的疑惑