已经知道Ax=b的minimal solution是去掉解中ker(A)留下R(A^T)的部分
还有当least square solution有无限多解时会有R(A^T)+ker(A)的表达方式
那为什么minimal solution不会是least的R(A^T)的部分呢
例如这题(d)(e)：






d的解中[-2 0 2 0]^T是R(A^T)
s[-2 1 0 0]+t[1 0 -3 1]是ker(A)
照我第一句话来看的话不是应该要直接去掉s[-2 1 0 0]+t[1 0 -3 1]就会是minimal吗？
而且e求出来的答案也是[-2 0 2 0]^T - 28/51[-2 1 0 0] + 32/51[1 0 -3 1]的组合
这样不就和minimal在R(A^T)这点矛盾吗？
我知道least square和minimal各自怎么算
只是合在一起一直想不透不知道哪里观念有错><
先谢谢各位～

minimal是讲长度最小 应该跟含不含ker(A)没关系？

可是e是求minimun-length的least square solution

［-2.0.2.0］应该不属于RAt 是那个解集的空间里面 只有一个属于RAt 所有才要找那个min sol一开始取找least square 就只是随便抓一个解+两个生成的向量如果一开始取的就是R(A)^t的话 那就是你讲的状况没错我是这样想啦 有错再帮我纠正qq

因为你第一句就错了 形成直和的空间不会唯一 比如取span(1,1) 或span(1,0)都跟span(0,1)形成直和 所以没办法直接那样扣

目前理解是～least解出来不一定是R(A^t)+ker的形式 所以不能直接扣 但是像T大说的直和不唯一 所以如果把这个解转换成R(A^t)+ker 那么就可以直接扣 想请问这样理解对吗><

如果你转成那形式了，那就已经找到R(A^t)上的解也没什么好去扣的了以顺序来说，那解的集合其实不是“空间”，你可以想像在三维里面它是不通过原点的平面而其中离原点最近的那个点被称作minimal，也同时会满足它要在R(A^T)里面，也就是通过原点垂直那平面的那条线实际上是来自于N(A)的正交余空间是R(A^T)的缘故也就是说，那个解集合是一种“商空间”而这商空间里面任何一个点都可以拿来作为代表向量用词错误，上面我讲的商空间应该都改成商空间的元素

e 小题 讲的是least square 上最小长度，不是AX=b上的最小长度，所以 最小长度公式的b 不能带Ax=b的b,要对b做投影才可以得到，之后再把新的b代入 最小长度公式即可。