※ 引述《aa06697 (忍者龟头痛)》之铭言：
: 想问一下 目前读到线性映射这边
: 知道当 T:V->W 是欧式空间转换时 T(x)=Ax
: 其中A刚好是取V,W的标准基底的矩阵表示法
: 所以我们可以用这个A来取得一些性质
: 像是:
: (1)求R(T), N(T) 可以转成求R(A), N(A)
: (2)问T是否1-1, onto 可以检查A是否行独立, 行生成
: (3)若A:m*n 则nullity(T)+rank(T) = nullity(A)+rank(A) = n
: 但这些都是在欧式空间的转换下
: 黄老师的课本＆上课时也都有先提到是欧式空间转换
: 我想问的是 那非欧式空间转换呢？
非欧式空间的转换,
背后仍为Finite Dimensional Vector Space之间的转换
例如,
向量Fn 同构 n dimension Vector space
多项式Pn 同构 n+1 dimension Vector space
Vector space是代数定义,
(1) 其任意元素满足ablian群加法 (前四项,封闭性,单位元素...etc)
(2) 其任意元素与scalar Field满足乘法(分配律, 结合...etc)
而Range, Kernel, 1-1, onto, rank, ... etc
这些概念是建立在Vector Space之上才有的
其代表的是2个Vector Space之间的关系
也就是linear mapping(transformation)
所以你的代数结构必须要同构Vector Space
才享有这些性质
: U: V->W 其中V是多项式空间 W是矩阵空间
: 虽然可以换成矩阵表示法
: 得到 [U(v)] = [U] * [v] (基底就不打了 因为不知道怎么表示= =)
: 会是 m*1 m*n n*1
: 就类似是前面所讲的T(x) = Ax 的感觉
: 那假如[U] = B (且是取V,W的任意基底 就是不用取标准基底)
: 也可以像是上面所讲的
: (1)求R(U), N(U) 可以转成求R(B), N(B)
: (2)问U是否1-1, onto 可以检查U是否行独立, 行生成
: (3)若B:m*n 则nullity(U)+rank(U) = nullity(B)+rank(B) = n
: 像这样用这个B来求得U的性质吗？
基底可以直接对应就没有问题,
如果是Pn -> Fn+1, 会稍微不同
但总结来说, dimension变化是一样的
而R(U)