https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta
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黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)零点分布的猜想
ζ函数在负偶数上也有零点
这些零点是平凡零点
德国波恩哈德・黎曼在1859年猜想：黎曼函数非平凡零点的实数部份是1／2
所有非平凡零点都应该位于直线1／2+it（临界线）上
t为实数，i为虚数单位
质数出现频率与黎曼ζ函数紧密相关
重要的数学和物理结果都能在它成立的前提下得证
上世纪数学界领导人希尔伯特:‘’如果我在沉睡1000年后醒来，我将问的第一个问题
便是：黎曼猜想证明了吗‘’
克雷研究所将其定为千禧年七大数学难题之一并悬赏一百万美元证明奖金
Anthropic员工Jarred Summer是Bun的缔造者
16岁从高中辍学且几何课只上了半年的他
却在8天前的晨跑途中随口命令Claude证明黎曼猜想
首次尝试中Claude生成并试了650个点子但全部失败
Sumner没有参与推导
他给的提示大都只有两个意思：‘’继续‘’及‘’相信你自己‘’
Jarred Sumner要求Claude再试一次
Claude自己拉起60多个子智能体并跑了一天半
各Agent分工：
2个想出了关键数学思路
13个给这2个喂想法、当外援
30个试了但什么也没试出来
13个当验证员，专门挑推导的错
最后2个负责把论文初稿写出来
真正贡献核心数学想法的只有两个子Agent：E2和E2-pairs
Claude让agent自arXiv下载54篇论文以确认是否曾被提出
子代理共执行2400道Shell指令并撰写数百支Python脚本
针对已知zeta零点执行数千次数值检核
两个会话一共烧掉3100万输出token
最后Anthropic数学家Levent Alpoge和Ralph Furman研读并验证Claude的论文
Claude也生出可形式化验证的证明
Claude突破的是黎曼猜想两大证明思路之一：证明多少比例的零点位于临界线上
－经过数十年数学家得出比例为41.6%
1973年Montgomery研究零点之间的配对相关并在假设黎曼猜想成立下得到关于简单零点比
例的2/3结果
这推导的一侧可通过质数进行计算且这部分本身不用黎曼猜想
需要黎曼猜想的地方是如何解释另一侧的零点贡献
只要存在临界线外的零点
原来的逐项正性就会失效
近年Baluyot、Goldston、Suriajaya和Turnage-Butterbaugh等建立了不依赖黎曼猜想的
零点配对相关结果
Goldston和Suriajaya提出:若能去掉Montgomery证明中剩余的黎曼猜想条件
2/3就可能无条件成立
而Claude结合了Bombieri在2000年的观察
把Weil公式限制在一个有限维的Gabor函数空间中
这样原本的解析数论问题可表示成Hermitian矩阵问题
临界线上零点贡献正方向
临界线外零点会对称出现
每对零点贡献签名为(1,1)的二维块
Claude提出的秩—迹不等式可同时处理这两类贡献
再用能从质数一侧计算的一阶矩和二阶矩估计临界线上零点数量
Montgomery的不等式：m^2>=2m-1，m为整数
Claude把类似的计数关系改写成适用于Hermitian矩阵的秩—迹不等式
矩阵特征值不用是整数也能得到相应下界
最终公式可以直接写成：H(λ)=2-1/λ-λ/3
λ为测试函数的标准化频宽
取λ=1则可得到H(1)=2/3
再用Montgomery—Taylor最优窗函数
结果提高到67.25%
过去37年数学家才推进0.8%
如今Claude直接提升了25.6%