https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z
1867年法国数学家皮埃尔·奥西安·博内提出博内问题："如果我们知道一个封闭曲面的
度量(决定距离）和平均曲率（弯曲程度），这个曲面的形状是不是就唯一确定了？"
博内证明大多数情况下是肯定的
但也存在例外（称为博内对）
后续158年间数学家陆续发现了非紧致（无限延伸或有边界）的博内对案例
但始终没人能找到紧致（封闭且无边界，如球体或甜甜圈）的案例
德国Alexander Bobenko过去20多年来一直试图证明紧致博内对确实存在
他和Tim Hoffmann花了20年的时间发展用离散曲面来保留光滑曲面几何特征的理论
2010年代期间Andrew Sageman-Furnas加入团队
他将博内问题带进离散几何领域
2018年春季Sageman-Furnas在电脑上用离散微分几何中的等温曲面与博内对的类比
对环面进行57的四边形分割与分析
电脑搜索找到了一个像折纸犀牛的离散环面
https://reurl.cc/Eblemk
电脑分析显示此环面在变换过程中能保持紧致性
而且它的曲率线都落在平面或球面上
Bobenko随后用100多年前Jean Gaston Darboux的公式将它从离散转换成平滑曲面
成功让原本会无限延伸的曲线闭合成环面
终于构造出第一对平滑的紧致博内对
后来他们又进一步放宽约束条件并构造出两组外观明显不同、极其扭曲且互不为镜像的
实解析环面
https://reurl.cc/aMmAR7
这项研究一口气解决了两个几何问题-
全球博内问题:证明确实存在两种类型不同、但具有相同度量和平均曲率的紧致流形
Cohn-Vossen–Berger 问题：证明即便是在最平滑、最优美的实解析级别下曲面形状依然
不具备唯一性