如题啦
教授一直说
在有限维空间里
闭且有界的集合就会是紧集
超直观啊
毕竟就是“有界闭集 = 紧集”嘛
可是到了无穷维巴拿赫空间又说
“单位闭球在强拓扑下不紧”
但又有人说
“在弱拓扑下却可能紧”
然后我就去看 Banach–Alaoglu 定理
写说单位闭球在弱* 拓扑下是紧的
结果我快看不懂了
到底弱拓扑跟弱* 拓扑差在哪？
为啥有限维就没这问题？
而且有人说
弱拓扑下虽然紧
但意思其实是
compact ≠ sequentially compact
然后可能不再是可数并开覆蓋可以搞定？
想问一下
到底巴拿赫空间里的闭球
在无穷维到底会不会紧啊？
还是说只能在弱* 拓扑下才有救？