https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/
https://www.youtube.com/watch?v=1emC3ncjblU
朗兰兹纲领由Robert Langlands在1960年代发起，为傅里叶分析的广泛推广，试图将三个
数学领域连结起来：数论、几何和函数域，因此被称为数学的大统一理论。傅立叶转换是
将波形转换成正弦波级数，进而分析波形的频谱。Langlands认为数论和函数域之间也存在
类似傅立叶分析的波形-频谱对应关系:波形类似函数中的特征函数，每个特征函数都有特
征频率，正弦波频率是个数字，而特征函数频率则是无限数列。至于频谱端，Langlands则
认为数论中的对象能标示特征函数的频谱。
数论中的费马大定理就是透过发现几何中的谷山-志村猜想与之等价后完成证明的，因此完
成朗兰兹纲领势必能大大推进数学研究-证明几何中的猜想就能证明数论或函数中的猜想，
反之亦然。
数学家首先思考几何朗兰兹猜想对应的频谱侧应该是什么样子。他们首先想到紧致黎曼曲
面(球面、甜甜圈及多孔甜甜圈)。一个黎曼曲面有一个相应对象-基本群，它跟踪了环绕曲
面的不同环路。数学家推测几何朗兰兹对应的频谱侧应该由基本群的某些提炼形式组成，
这些形式被称为其“表示”，而黎曼曲面基本群的每个表示应该是一个频率标签。
1980年代芝加哥大学的Vladimir Drinfeld提出通过用特征层取代特征函数来创建几何朗兰
兹对应。1990年代早期，Beilinson和Drinfeld展示了如何使用物理学中的共形场论来构建
特征层。
1990年代中期Gaitsgory在聆听Beilinson关于几何朗兰兹项目的演讲后决定全心投入其中
。2013年马克斯普朗克研究所的Gaitsgory撰写了几何朗兰兹猜想证明的纲要。后来
Gaitsgory和多伦多大学的Nick Rozenblyum写了两本关于层的书。
2020年疫情爆发时Gaitsgory团队撰写了朗兰兹计划函数域的论文，其中包含了后来成为几
何朗兰兹猜想证明的关键部分：理解每个特征层如何对白噪声做出贡献的方法。在几何朗
兰兹计划的世界中，特征层扮演正弦波的角色。Gaitsgory团队确定庞加莱层充当了白噪声
的角色。但是他们不知道每个特征层是否在庞加莱层中有表示以及它们是否具有相同振幅。
2022年春天，耶鲁大学的Raskin和他的研究生Joakim Færgeman意识到最棘手部分是处理
基本群的不可约表示，他发现可以将不可约表示的问题简化为证明三个都在可达范围内的
事实。
最终Gaitsgory,Raskin,Arinkin,Rozenblyum和Færgeman等九人完成了证明，他们将800页
证明分成五篇论文并放到网上。
德克萨斯大学奥斯汀分校的 David Ben-Zvi 说:“在其他任何领域中，从未有过如此全面
和强大的结果被证明。”
数学家接着将研究几何朗兰兹纲领与量子物理的联系，将结果扩展到带有穿孔的黎曼曲面
。Gaitsgory团队已经在将几何朗兰兹证明转化为函数域方面取得进展，如果成功，将大大
推进函数朗兰兹猜想的证明。目前菲尔兹奖得主Scholze也在努力连结几何和数论朗兰兹猜
想。