刚好看到某个无知的货色在那狂扯：
https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1641050540.A.A63.html
: 大家可以理智思考，
: 假设有个人不懂数学然后数学考试答案全错考零分，
: 这个人却说：
: “
: 传统数学比较低级的数学，
: 我会的数学是更高级、更伟大的数学，
: 所以我写的答案才对，
: 传统数学错误。
: ”
: 大家认为这种说法合理吗？
其实答案还真是合理！
当然，也并不叫作合理，毕竟对于单细胞脑袋来说，要理解
“甲既合理，乙也合理，可是深度不同，出发点不同”
似乎是太难了。
这里就举个例子：什么是数。
什么是数？啊不就1，2，3……？
但问题是这又是什么？
怎样才能给出一个更“原子式”的定义？
定义数，通常还是从自然数出发，自然数的出发点可以说是1。而怀德海与罗素在《数
学原理》（Principia Mathematica）中，把数字 1 定义为“所有单位类所构成的类”
（the class of all unit classes）。针对这一类逻辑主义式的定义，Henri Poincaré
酸说：“这眞是个了不起的定义，适合拿去教那些从未听说过数目字 1 的人， 好让
他们对这数字有个概念。”（ (c'est une) définition éminemment propre à
donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais entendu
parler. H. Poincaré, 'Les Mathématiques et la Logiques'）
https://i.imgur.com/49MpOs9.jpg
显然地，这种“数”的定义，很有意思，但很不适合初学者。
在ZFC的集合论体系下，可以对自然数提出这样的定义：
0 = {} （空集合）
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
......
（这里面默认了一些东西，就不多说了。）
这种“数”的定义，一般人也未必好理解吧？
你跟你的小学老师说 2 + 3 = 0 的后继的后继再后推三次后继？
再举个例。如何定义“正弦（sinus）函数”？
一个初等的定义法是，sin θ = y/r，其中θ为一直角坐标系上xOy的一个象限角，r为
该点至原点的距离。
这是符合几何直觉的初等定义法没错。但，是否可以有其他定义？
如果直接定义 sin z = z - z^3/3! + z^5/5! - + - + ......
这样用一个无穷级数来定义呢？
其实也是可以。而且只要逻辑上自洽，大可反过来用这个定义来说他等价于那源自几何
直观的定义。虽说这个定义很不亲初学者（但也要看是哪类的初学者，有的初学者反正
初等几何就是没学好，直接从级数出发还简单些），但总之说得通。
可是等等，这个级数定义，默认了对收敛发散的理解，默认了好多基础知识不是吗？但
这没关系。反正这也只是“假名为sinus”，因为在某些高等的立场，用级数定义更方便
处理解析等关系，那就不用纠结在他的几何直观上。当然，确实还是可以绕一圈回来证
明此二定义在某种意义上是等价的（虽说几何直观无法定义一般复数 z 之下的 sin z），
那又得费工夫了。
像这一类扩充的定义可多得是。小时候老师会教你任何数不能除以0，但长大了你会知道
其实在极限意义下某些情况可视作黎曼球面的一个点。小时候跟你讲函数是一对一或多
对一，但其实函数也可以一对多（多值），或者只看局部对应关系。
大概只有无知却狂妄的家伙，才会单纯到觉得“数学”只有一种吧？
（当然，各式数学框架下，仍然有其相通的核心理念。也就是从毕达哥拉斯到柏拉图到
笛卡儿所累积建构起来的模式。但即便是核心理念相通，构造出来的东西也可以南辕北
辙。）