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科技新报
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黎曼猜想被证明了？Michael Atiyah 的愚人节难道在 9 月吗
3.完整新闻内文:
今年中秋，关心学术的读者看到最多的消息大概就是英国数学家麦可·阿蒂亚（Michael
Atiyah）爵士宣布证明了黎曼猜想。如果这是真的，阿蒂亚爵士不仅可获得克雷数学研究
所悬赏的 100 万美元奖金，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的喜事。
然而，根据目前了解，阿蒂亚爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩……
黎曼函数和黎曼猜想
大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想（Riemann hypothesis）的介绍了，
这里还是不厌其烦地再简单说下。
首先有无穷级数 ζ(s)
https://img.technews.tw/wp-content/uploads/2018/09/26113639/5ba9eaf512ea2.jpg
当 s 取 1 时，就是调和级数 1+1/2+1/3+1/4+……算数意义上不收敛。s = 2 时，级数
收敛于 π2/6。等等。当 s 取值为复数 s=x+iy 时，会把复平面上的点 s(x,iy) 对映到
另一点 s'(x’,iy’)。注意到这个级数要求 s 的实部大于 1（x>1），否则这个级数不
收敛，也就没有熟悉的数值和结果。
黎曼函数是 ζ(s) 在整个复平面的解析延拓，将 s 的定义域延伸到整个复平面（值得说
明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数有解析延拓，那么解析延拓的结果
唯一。这里 ζ(s) 的解析延拓刚好展现出仿佛对称的样式，而不是先做了对称然后把它
称为解析延拓）。
黎曼提出黎曼函数时轻松地发现，当 s 取负偶数整数时，函数值为零，那么 s=-2n（n
为自然数）就称为黎曼函数的平凡零点（平凡表示没什么难度、很容易理解）。同时，解
析延拓后的方程式带入 s = -1，得到 1+2+3+4+… = -1/12；带入 s = -3，得到
1+23+33+43+… = 1/120。这样的结果并不是我们熟悉的 1+1=2 那样的算数和，只是揭示
等号左边和右边的式子有某种还不完全理解的联系。
另一些零点就没那么普通了（非平凡零点），它们是复数，且有耐人寻味的分散规律。黎
曼在 1859 年《论小于给定数值的质数个数》论文提出 3 个命题：
命题一，认为非平凡零点都位于 Re(ρ)=0 到 Re(ρ)=1 的条状区间内。
命题二，认为几乎所有非平凡零点都位于 Re(ρ)=1/2 直线上，这条线也称为临界线。
命题三，黎曼谨慎地猜测有可能所有非平凡零点都位于 Re(ρ)=1/2 直线上。
大家应该还听过黎曼函数揭示了质数的精细分散规律，限于笔者学识有限，这里暂不介绍
，有兴趣的人欢迎自行 Google。
黎曼猜想证明的进度
黎曼论文发表于 1859 年，当时数学家不怎么喜欢发论文，他们只发表自己所有研究中经
过深思熟虑、有充足论据支撑的一小部分。黎曼当时也是领先时代的数学家，以致论文发
表后，许多数学家连他提出的命题一和二都认为只是黎曼的单方面幻想（黎曼论文是以非
常肯定的语气提出）。由于黎曼猜想的难度之高，数学界进展速度极为迟缓，甚至有观点
认为“如果黎曼是错的，我们的日子反倒好过一些”。论文发表 46 年后，数学界终于证
明了命题一；73 年后，另一位德国数学家 Siegel 整理黎曼仅存的手稿，让黎曼当时演
算零点所用的公式重见天日（命名为 Riemann-Siegel 公式），同时震惊了数学界，因为
这公式比 73 年后数学家所用的公式还要先进；数学界也更为黎曼的思想及猜想的前瞻性
折服。
借着公式，后来的数学家与电脑科学家用计算方法加以验证，已验证了超过前 200 亿个
非平凡零点都在临界线上──但数学毕竟不是经验科学，这无法证明第三个命题正确。第
二个命题（几乎都位于临界线上）的证明则推进到“至少有 40% 的非平凡零点在临界线
上”，就再也没有新进展了。黎曼猜想，尤其是命题三，仍未得到证明。
回过头来想想黎曼给出 3 个命题时的态度，对命题一、二是十分肯定的预期；而命题三
，他也只敢谨慎地猜测。
160 年过去了，数学家几乎都相信黎曼猜想是正确的，但还没有人拿出严格的证明。对于
黎曼猜想，数学界有两句调侃：“如果魔鬼与一位数学家交易，允许他用灵魂交换一个命
题证明，那他很大机率会选择黎曼猜想的证明”，以及“如果 500 年后黎曼复活，他会
问的第一件事就是‘黎曼猜想证明了吗？’”足见黎曼猜想的地位。实际上，数学界已有
许多新理论和公式是建立在假设黎曼猜想正确的基础上，黎曼猜想一旦证明，也是对他们
的莫大鼓舞。
数学家直觉不相信阿蒂亚爵士
经过以上背景介绍，想必对黎曼猜想证明的难度已有基本理解。简单明了的证明方法如果
存在，之前 100 多年的数学家，包括极具远见的黎曼本人都非常有可能直接发现。以近
几十年来证明的重要数学猜想而言，Perelman 证明 Poincare 猜想，3 篇论文用了将近
70 页，而张益唐做孪生质数猜想的估计时也写了将近 60 页。
阿蒂亚爵士展现的是：一篇长度 5 页的论文预印本，其中参考介绍 Todd 函数的论文也
只有 17 页。以及，介绍自己证明过程的演讲，关于证明过程本身的投影片只有 1 页。
只凭证明长度，阿蒂亚爵士就受到大部分数学家的质疑。
另一点也引发怀疑的是，出生于 1929 年的阿蒂亚爵士已 89 岁高龄。纵观整个数学史，
尚无一位数学家在如此高龄做出这种等级的成果。且阿蒂亚爵士虽然证明了
Atiyah-Singer 指标定理（被誉为 20 世纪差动几何最重要的定理）并获得菲尔兹奖与阿
贝尔奖，但一方面他是研究几何／解析几何的，黎曼猜想则属于复分析与数论，是不同的
数学领域；另一方面，据数学博士、前浙大物理学博士后 @贼叉回忆，“老头在几年前嚷
嚷着自己证明了六维球面上没有复架构最后却不了了之”，他认为这次宣告大新闻可能仍
是闹笑话（宣告大新闻在如今数学界也不是稀罕事，前几日尼日利亚一位数学教授也宣布
证明了黎曼猜想，浙江大学一位 YinYue Sha 发表了一份 1 页长度的黎曼猜想证明，日
本数学教授望月新一宣告证明 ABC 猜想直到现在也尚未令人信服）。
这不是一份严谨的证明
除了直觉对“阿蒂亚爵士证明了黎曼猜想”的质疑，针对证明过程本身合理性的质疑也已
出现──这才是真正致命。
根据 @贼叉介绍，阅读 5 页预印本及 17 页介绍 Todd 函数的参考论文后，他表示：
事实上，老头证明的关键就是在于使用他称之为弱解析函数的 Todd 函数。
我们 follow 了他参考文献的第二篇论文：《THE FINE STRUCTURE CONSTANT》，粗粗读
完论文之后，我感觉：
这哪是论文啊，就是一部数学史啊！
整整 17 页论文中，涉及 Todd 对映的核心内容在 3.4。从 Todd 对映的构造来看，这是
一个从复数到复数的对映，且是高度的非线性对映。
他给了希尔伯特空间的 Clifford 代数无限张量积的弱闭包，这个弱闭包取自两个希尔伯
特空间的张量积。这个希尔伯特空间的 Clifford 代数迹诱导出闭包上的迹，这个闭包的
中心透过两个同构对映的复合能和复数域同构，这样就完成了 Todd 对映的构造。
后面又介绍了 Todd 多项式的构造。
但是怎么利用 Todd 对映和 Todd 多项式呢？
反正我是没找到。
看到前面这一堆术语，估计有人想打我了，打个比方吧。
理论上青铜能做工艺品，你给我做个后母戊方鼎。
工具？略
怎么做？略
……
老头大概就是玩了这种把戏。
他把为什么 Todd 对映能用于黎曼猜想的证明给……略过了，我只能表示哭笑不得。
数学是一门极注重严谨性的学科，推理过程每一步都要有严谨的证明，尤其越重要的地方
越无法略过。在 @贼叉看来，这个证明九成九不行……
另一位科学松鼠会的 @科普君XueShu 也给了意见。根据他的解读，阿蒂亚爵士假定提出
的弱解析函数 Todd 函数的某种极限，等同于物理学精细架构常数 α 的倒数，相当于尝
试用这说明光速、单个电子携带电荷数量、普朗克常数之间关系的物理学常数的取值，解
释复解析函数的非平凡零点的存在规律。虽然精细架构常数 α 确实有奇妙性质，比如的
取值不依赖基本单位大小的选择，目前也没有找到对它的取值 1/137.03599913 的够好理
论解释，另一方面之前也在其他问题有物理学方法和纯数学方法取得联系的例子，但这种
跨领域的强加联系，未免带来一种“用量子纠缠得出小孩感冒了可以针灸扎他妈妈”的科
普感。
@科普君XueShu 还补充：
（精细物理常数）20 世纪刚发现时，很多物理学家都想从数学角度解释和推导，但后来
种种证据表明这个想法完全不靠谱，早被扔进历史的垃圾堆，虽然目前依然是民科放飞自
我的重灾区。
没想到这次又被 Atiyah 翻出来了，还当作著名数学猜想证明的重要基础。
其实这倒不奇怪，因为 Atiyah 本人是晚年才开始学习物理，他的物理直觉颇臭名昭彰。
他经常突发奇想自以为发现解决某个物理学问题的关键，从物理学家的角度看，跟网络常
见的科普言论没什么差别，但凡有点物理学素养的人都能看出其中的荒谬。不过他的学生
，著名理论物理学家兼数学家爱德华‧威腾，倒是每次都细心列出一堆理由告诉老师为什
么这些想法行不通，每条理由都直击要害，奈何 Atiyah 至今仍执迷不悟。
“数学大帝”丘成桐今天也在“数理人文”公众号发文表示：“我问过一批专家，大家都
说这篇文章没有提供一般数学家要求的严格性定理证明……阿蒂亚教授的论点极为牵强，
看不到物理或数学上的意义……有时候不完备的证明也会带有启发能力，但是我还没有看
到这篇文章的启发能力。”
几乎确定的闹剧
说到这里，几乎可以确定阿蒂亚爵士没有证明黎曼猜想，还惦记着那 100 万美元奖金的
读者可以先喘口气了。除了感到滑稽，相信很多人都借机重新温习了复分析和级数的知识
，也对数学领域许多有趣的方法和猜想有了新认识；最棒的情况当然是重新发现学习数学
的乐趣了。
阿蒂亚爵士的名誉倒不需要众人担忧，他凭现有的成果和奖项就可以继续名垂青史。而我
们就继续一边重新学习数学，一边期待真正严谨、经得起检验的黎曼猜想证明出现吧。
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