※ 引述《ferertrh》之铭言：
: 作者: ferertrh (tea) 看板: Gossiping
: 标题: [问卦] 一句话讲出群表示,线性代数在干麻?
: 时间: Fri Apr 20 02:28:53 2018
: 身为一个精熟必修课的人来说
: 必定可以一句话跟初学者讲清楚
: 这门课在讲什么,最重要的精神是什么
: 可惜多数教授都照本宣科,让人抓不到重点
: 如果是各位高手来教
: 会怎么讲?
http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d364/36402.pdf
Gelfand 说 “所有的数学就是某类表示论。
(All of Mathematics is some kind of representation theory.)”
在数学来讲, 还有一个更明确的涵义, 也就是 把一个对象的代数结构
再现于一个由线性变换或矩阵构成的具体对象上
表示论大致分成三部分: 群的表示理论, 代数的表示理论和李代数的表示理论。
我们对术语有了精细的解读, 也看了一些基本例子。 由这些我们可以看出表示论的基本
思
想有两点: 一个是对称, 一个是线性化。
代数结构反映了对称性, 这要怎么理解。 用正方形和圆来讲, 正方形很对称, 圆比它更
对
称。 这从代数结构的角度会比较容易理解, 以群来说, 保持圆不变的群要比保持正方形
不变的
群大得多。 把圆和正方形放到二维实空间上, 中心与原点重合, 过原点的反射和旋转都
能保持这
个圆不变, 是可逆性变换, 它们全体在映射合成下封闭, 于是成为一个群。 但是, 想保
持正方形
不变的例子就很少, 正方形不变的反射只有两个, 旋转只有四个, 比圆要少得多, 从代数
结构上
可以看出圆的对称性比正方形要好得多。 所以代数结构的表示, 给出了代数结构的线性
化, 也反
映了相关线性空间的某种对称性。 这是互惠互利的, 通过表示在线性空间得到一种对称
, 反过来
说, 在线性空间对称的, 对研究代数结构也非常有帮助。