※ 引述《CKLee (嫩之使者)》之铭言：
: ※ 引述《Sidney0503 (Sidney0503)》之铭言：
: : 简而言之
: : 就跟他说因为自然数加法是abelian group的operator
: : 此operator存在加法单位元素0 即a+0=a 而且有交换性 即a+b = b+a
: : 乘法放进去是ring的第二operator
: : ring的定义是第二operator(*)对于第一operator(+)具有分配性
: : 所以 a*(b+c)=a*b+a*c
: : 但是加法对乘法没有分配律 因此如果加法没有括号起来就没有分配的另一个对象
: : 所以a+(b*c) = a+ b*c
: : 也是一般所谓的乘法有优先权
: : 很简单吧
: 这篇回文写得不错，不过这次遇到的问题比较像是“为何定义这样定？”
: 因此容敝鲁再多补充一些，把细节讲清楚，但略过部分的证明。
: 首先，因为 Ring 的定义本来就是从整数 Z 复制过来，然而 Z 又是从正整数 N 构造
的?
: 因此本篇文主要回答在 N 上的“先乘(除)后加(减)”问题。
: （知道 Z 是 N 的 quotient set 的，应该就知道敝鲁的意思。
: 不知道的也没关系，此非本篇重点）
: Step 1:正整数之定义与正整数上的运算
: 数学家当初发展集合论的时候，便想要把所有数学世界的物件都回归集合，即使是最自
然
: 存在的正整数也不例外。一般最耳熟能详的正整数定义就是皮亚诺公理，在此用比较口
语
: 化的方式来表述之。
: Definition: (Peano Axioms)
: 正整数是一个集合 N，并且满足以下五个条件。
: a. N 里面有一个数字 1
: b. 存在一个“后继函数”S: N → N，此时对每个 N 里的数字 n，S(n) 称作 n 的后
继?
: c. 如果有两个数满足 S(m) = S(n)，则 m = n （亦即 S 是 injective）
: d. 在 N 里面，不存在任何数字 n 使得 S(n) = 1 （亦即 1 不落在 S(N) 里面
）
: e. 若有一个 N 的子集合 K 满足以下两点：
: (1) 1 在 K 里面
: (2) 如果数字 n 在 K 里面，则 S(n) 也会在 K 里面
: 则 K = N （亦即在 N 上可以作数学归纳法）
: 如果有乡民现在看不懂，你可以先偷偷地把 S(n) 想成 n+1，这样应该就全看懂了~
: 上面的定义完全没有触及到正整数的运算，现在我们来定义加法。
: Definition: (Addition on N)
: 我们定义一个二元运算 + 如下：给定一个正整数 n，定义
: +: N x N → N
: (1,n) → S(n)
: (S(m),n) → S(+(m,n)) if +(m,n) is defined
: 根据皮亚诺公理的 e，此 + 的定义域成功扩展到 N x N，并将 + 称作正整数上的加
法
: 另外为了方便，我们将 +(m,n) 书写成 m + n，因此 S(n) = 1 + n。
: Theorem: (Properties of Addition)
: 以上定义的加法 + 满足下列两件事情。
: a. 对任意的正整数 k, m, n，都有 (k + m) + n = k + (m + n) （亦即有结合率）
: b. 对任意的正整数 m, n，都有 m + n = n + m （亦即有交换率）
: 证明就是用数学归纳法来证就可以了，这留给有兴趣的乡民自己作作看。
: 我们定义的加法只有二元运算，也就是一次只能两个数字加起来，遇到要加超过三个数
字
: 就必须使用括号，告诉我们是谁先加谁后加。不过因为有结合率，先加后加没有差别，
因
: 此加法就省略括号了。
: 接着我们来定义乘法~
: Definition: (Multiplication on N)
: 我们定义一个二元运算 * 如下：给定一个正整数 n，定义
: *: N x N → N
: (1,n) → n
: (S(m),n) → *(m,n) + n if *(m,n) is defined
: 根据皮亚诺公理的 e，这个 * 的定义域扩展至 N x N，此时称 * 为正整数上的乘法
: 为了方便，我们将 *(m,n) 书写成 m*n，就是大家熟悉的乘法记号囉~
: Theorem: (Properites of Multiplication)
: 以上定义的乘法 * 满足下列三件事情。
: a. 对任意的正整数 k, m, n，都有 (k*m)*n = k*(m*n) （亦即有结合率）
: b. 对任意的正整数 m, n，都有 m*n = n*m （亦即有交换率）
: c. 对任意的正整数 k, m, n，都有 (k+m)*n = (k*n)+(m*n) （亦即有乘法对加法
: 以及 k*(m+n) = (k*m)+(k*n) 的分配率）
: 这三条的证明同样可以使用数学归纳法，此处省略之。
: 另因为乘法也是定义成二元运算，所以当我们要处理三个数字相乘时要使用括号告诉我
们
: 谁先乘谁后乘。不过有了结合率后，我们也在这边省略了括号了。
: 读到这边，各位应该可以发现其实上述定义其实也没这么神秘，因为加法就是照我们的
常
: 识去定义的，乘法也是照我们所熟悉的“反复累加”来定义，因此应该都算直观 :)
: 记得有一位乡民在原文有问“为何加法对乘法没有分配率？”，相信这边应该已经充分
地
: 回答了他的问题了。（因为算一下就会发现没有Q_Q）
: Step 2: 先乘(除)后加(减)?!
: 其实一切的根源都来自括号省略的问题，当一堆二元运算碰在一起的时候本来就要加上
括
: 号来搞清楚操作的顺序。目前我们知道加法连续操作跟乘法连续操作都可以分别省略括
号
: 那问题当然就来自加法跟乘法的混合操作了，也就是 k+m*n 究竟应该代表
: (k+m)*n 还是 k+(m*n) 呢？
: （能问出这种问题的小朋友蛮不错的，有在动脑而不是死板的把知识吞下去）
: 我自己的认知也如同原文，是问题来自乘法对加法的分配率
: 首先，假设我们遇到下列这个算式
: (x + y + z + w)*n
: 如果我们规定这种类型的算式（就是中间几个加都可以）可以省略括号，变成
: x + y + z + w*n
: 那究竟这个没有括号的算式是代表下列哪一个算式呢？
: x + y + (z + w)*n
: x + (y + z + w)*n
: (x + y + z + w)*n
: 没人知道，而且这三个答案很可能都完全不同，因为用分配率写开来分别变成
: x + y + (z*n) + (w*n)
: x + (y*n) + (z*n) + (w*n)
: (x*n) + (y*n) + (z*n) + (w*n)
: 这显然是差多了，因此在这种情形下可以省略括号很容易带来不必要的麻烦，所以此情
形
: 我们约定不省略括号。
: 那么，如果是下面这种算式
: n + (x*y*z*w)
: 省略了括号会怎么样呢，变成
: n + x*y*z*w
: 那会不会误会成
: (n + x)*y*z*w
: 呢？并不会，因为我们已经在前面约定好这种形状我们是不省略括号的，如此一来
: n + x*y*z*w
: 只会有一种意思了，就是 n + (x*y*z*w)。
: 那你可能会问说，其他的形状呢？比如说
: x*u + y*v + z*w
: 是从谁省略过来的呢？我们知道因为有分配率的缘故，因此如果原本算式长成
: x*(u + y)*(v + z)*w or x*u + y*(v + z)*w
: 之类的，括号都不该省略。因此它只能是 (x*u) + (y*v) + (z*w)，才不会造成岐义。
: 因此，这样我们成功确立了“先乘(除)后加(减)”的合理性。
: 不过上面都没讲到减法跟除法呢，这是为何？因为在正整数 N 上没办法全域定义减法
跟?
: 法，所以上面就先略过了。不过在有理数 Q 上就有全域的减法以及除法了，建构方法
也?
: 从 Z 过去的，因此有分配率（详情参考我快两年前写的一篇文，但那篇疑似消失了）
: 从这样的观点去看，就有“先乘除后加减”了~
: 希望这篇文可以解决各个乡民在前面讨论的一些疑惑 :)
推这篇，老实讲我觉得从小学开始讲代数说不定比较好，我高中数学补考过的，大学线代
A（电资学院开的）
老师从代数基本场群开始讲到向量空间之后，让我有种豁然开朗的感觉，后面突然都串起
来知道为什么ㄌ