拓朴学与几何学的关系-
前一篇说过 拓朴学是一门研究空间性质的学问
但是对于没听过“拓朴学”这个名词的人来说 所谓“研究空间性质”的学问 大家会
想到的是什么学问呢？ 应该想到的是“几何学”吧
那么， 拓朴学 跟 几何学 有什么不同呢？
由于国高中数学的缘故 对于大多数人来说“几何学”就是等于“欧基里德几何学”(
也就是在玩点、直线、圆、平行线...等)
但是随着微积分的发展 几何学已经引入了微积分的技巧 而使得专家们可以开始研究更随
意、更扭曲的几何物体
并且研究这种弯曲的空间已经是目前数学家认知的几何学的主流 也因此,当数学家们讲“
几何学”时 通常他们心理指的就是“利用微积分技巧来研究的几何学”，这种学问通
称“微分几何学” (BTW, 请先忽略也有代数几何学这种东西XD)
(如果有学过微积分的同学 我可以稍微提一下一个利用微积分的技巧来研究几何学的概念
以曲面为例 首先 有了微分后 我们就可以算曲面上任意某个点的切向量 接着我们会让该
点沿着曲面移动 然后观察切向量的变化 这些变化就会透漏出 曲面的弯曲资讯)
虽然微积分是很有利的工具 但是它也有很多缺点：
第一个缺点是 它只能拿来研究“圆滑”的几何物体
比方说大家可能都知道在某些边边角角的地方 就无法微分 像是桌子的桌脚是90度角的话
就无法在桌角算它的微分值(严格来说 其实还是可能找到好的参数座标使得这种点可以
微分,不过这种微分的结果一定是0 而在微分几何上也不喜欢切向量是0的状况 所以还
是会排除这种case)
这是一个非常严重的问题 至少你环顾四周 应该会看到各种有角度的物体吧! 所以这代表
微分几何能研究的几何物体的范围被大幅限缩了
第二个问题是 “微分”是一种“局部性”性质(local property)
先解释一下什么是局部性性质
当你想要知道某一个函数 f(x) 在某个点p 可不可以微分时, 你只需要去研究f(x)在
p“附近的”行为就可以了
你不需要去理会 f(x) 在另外一个 点q 的行为
因此，可微分性是一种局部性性值 所以微分几何的缺点就是你只能知道你想研究的空间
每个点的局部资讯 而无法了解整个空间所拥有的性质 有种以管窥天的味道
与局部性性质相对的则是“全域性”性值(global property)
举例来说 f(x) 是不是一个一对一函数(one-to-one)就是一个全域性性值(所谓一对一函
数 指的是对于任意不同的两点 p、q，则 f(p) 不等于 f(q),也就是不会有不同的点
被函数f打到同一个值)
要检查f(x)是不是一对一函数 你一定要知道f(x)在它定义遇上“每一个”点的值 才能知
道它是否是一对一 因此是个全域性性质
既然几何学(微分几何)有这些缺点 你可以说拓朴学某种程度上补足了那些缺点:
一、拓朴学考虑的空间不需要具备有微分结构(differential structure) 所以拓朴学可
以拿来研究有边边角角的物体
二、拓朴学研究的拓朴性质基本上都是“全域性”性值 比方说整个空间是否“有破洞”
就是一个拓朴性质 像是甜甜圈就是一个中间有个洞的曲面
当然，如果你想研究的已经是一个“圆滑的”空间(也就是你可以对它用微积分的技巧)
你依然也可以同时用拓朴学的技术来研究它
惊人的是，数学家们已经发现了微分结构跟拓朴性质之间有某些关系了 也就是说我们已
经发展出一些能够把局部性质跟全域性质连结起来的理论(ex: Gauss-Bonnet theorem 或
Morse theory等 有兴趣的话请google它们)
个人认为这是很美丽很漂亮的结果(题外话 华人数学大师陈省身教授就对于Gauss-Bonnet
定理在高维度空间的推广有极重大的贡献也因而引发了数学家们对于拓朴理论上的某种
特征类的研究 这种特征类以陈教授的姓氏命名 就叫做“陈类”(Chern class))
接下来就要谈一下在前一篇说好的“依拓朴性质将空间分类”惹
不过好累 还是让我先休息一下
(未完待续)