要理解数字怎么来的
我们先从有理数以前的数字系统的定义开始
先假设自然数是非常直观的(0,1,2,3......)
并且在自然数上有一个运算规则"+"
从自然数上建构整数非常简单
先观察一个式子"1"+1=2
我们可以用一个数对来代表式子中的第一个1
(1,2)意思就是有个东西x,x+1会等于2
这样说的话
当然你会发现其实也有很多这样的式子可以拿来代表1这个数字
像(2,3),(3,4)等等诸如此类的
于是我们把所有的这些蒐集起来并且把它当成整数中的1
可以很简单的验证用这样的定义加法也是被保留下来的
代表X的集合和代表Y的集合如果要相加的话把加法定义为
任意取X中的元素x(a,b)和Y中的元素y(c,d)
X+Y=Z iff (a+c,b+d)属于Z(这就不另行证明)
大家可以很容易观察到
如果我把数对前面的数字放比较大
例如(2,1)就代表有个数字x,x+2=1
但自然数中没有这样的数字啊
于是就把它当成新的数字的定义
于是就构造出了整数(可以想成是自然数加负数)
这样就从原本的数字系统中扩展成新的数系
同理
有理数也是基于差不多的手法
只是操作的数系变成是整数和运算符号"*"
问题来了
那无理数要怎么从原本的有理数构造出来
观察我们怎么表达无理数可以发现
大多数的时候我们是用小数不断不断的逼近
于是有个德国数学家很聪明
他想说既然我们是用这种方法来表示无理数(我猜的)
那我们就把无理数定义为所有小于(or大于)他的数
实际做法是这样的
我们把所有的有理数做分割
在数线某个点上一刀划下去
那所有有理数会分成两个部分
举例来说
我可以划一刀分成两个部分
{x属于有理数|x<1},{x属于有理数|x=>1} (=>代表小于等于)
我就分割出了两个以有理数为全集互补的集合
大家会发现
如果我切在一个有理数上
要不就会产生下面那个集合有最大元素
或是上面那个集合有最小元素
在这个情况下
我们就把这两个"分割" (上面的和这个{x属于有理数|x<=1},{x属于有理数|x>1})
定义为我们原本在有理数理的x(在这个例子里是1)
那所谓的无理数
就是刚好切在上面和下面都没有最大最小元素的"分割"
所以直观地讲可以想像无理数就是所有大于(或是小于)他的无理数的集合
只要考虑一个集合的原因是一个集合被决定
分割出来的另一个集合也已经被决定了
这样我们就又从有理数拓展出了无理数
这个方法由戴德金提出叫做戴德金分割
回到标题
如果要用戴德金分割说明为什么1=0.9999...
我们要说明的是
X={x|x<1}
Y={x|x<0.9999...}
(x皆为有理数)
这两个"分割"是一模一样的集合(只考虑下面 因为补集会被决定)
x属于Y则属于X这个很直观也很明显
我们假设存在x为有理数属于X不属于Y则代表存在p,q为整数使得
1>p/q且p/q=>0.9999...
1-p/q>0
1-p/q为有理数所以一定可以找到一个1/((10)^n)使得
1-p/q>1/((10)^n)>0
1-1/((10)^n)=0.9999(n个9)>p/q
0.9999(n个9)一定小于0.9999...所以和假设矛盾
不存在在X里却不在Y里的有理数
所以这两个集合是一样的
根据定义
1=0.9999...