楼主:
chieh27 (大魔法师妹零)
2017-10-22 23:24:57※ 引述《jacklin515 (二中U文生产器)》之铭言：
: 根据数学的“定义”0.9999999999…就等于1
: 不过在全知的观点上0.999999999…永远会向1逼近 但也永远不会碰到1
: 所以本质上是两个不同的数 只是无限接近
: 因为中间永远差0.00000000…1
: 数学为了解决这个bug 所以用一个定义“绕过”这个争议
: 我话说完 谁赞成 谁反对
: 我文组啦抱歉
Hey 这位文组的同学，我赞成你“定义上”0.999999...=1，但是反对你说数学家为了解决
这个bug才硬是定义成这样窝。
对于0.999999999...=1这个等式,有两件事情必须先厘清:
(1)0.9999....是什么意思?
(2)0.999999... =1的等号是什么意思?
(1)
对于0.999999....是什么意思,很多人会说“就是0.9999.....然后9一直写不停阿”,可
是抱歉,“写不停”并不是一个数学上严谨的概念。也就是我们无法直接将0.999.....当
作一个有定义的数字。让我们从头建构数字就会比较清楚了(只是大概而已,历史上
不一定真是这样的顺序,不过对我们了解我们可掌握的数字没影响):
对于古代人来说，他们可能为了数数(数苹果或货物等)而发明了自然数(也就是1、2、3...
等的概念),
然后有欠债的观念而进入整数的观念(...-3、-2、-1、0、1、2、3、...)
然后有分配的观念而进入有理数的观念(如2/3 7/4,也就是分子分母都是整数的数值)
让我们在这里停一下,你有发现0.9999999......这个东西根本不存在我们的建构里吗？
请记得我们的有理数要写成 "整数/整数" 的形式
所以0.9999.......作为“数字”根本不存在，帮QQ
事实上,0.99999.......只是一个“记号”而已，这个记号你应该这样解读：
令 X_1=0.9
X_2=0.99
X_3=0.999
X_4=0.9999
.
.
.
然后让0.99999...就是代表取数列{X_n}的极限(也就是那面那堆数列的极限)
(by the way, 就是取极限的过程让你觉得它一直在动)
接下来,我要解释极限的概念也就是(2)
(2)
如果你有学过微积分,一开始大概都会学'丢它-欸铺西龙'的观念,也就是说极限
这个概念在数学上已经是“完好定义且严谨”的观念惹.在这里我只想大概说一下：
对于一个数列来说,它的极限值(假设这个极限值存在)就是某一个“数字”(假设
是A)，A跟这个数列的关系是当数列的index越大,则数列的值跟A的差距越小
要注意的是A这个值“重头到尾”都要是一个固定的值,不可以跟着数列在变。
所以你回头看，X_n的极限值是不是就是1这个“数字”呢
也就是说0.999...=1的“等号”，并不是我们从小学的那个1=1,3=3,6-4=2的那个等号
这个“等号”，实际上的意思是“极限值是”的意思。只不过对于数学家来说，我
们可以很容易分清出在不同情形下的解读方法，所以才没有另外定义别的符号。
实际上你要把极限是写成别的符号，比方说'≡'，是OK的。此时就变成0.999...≡1惹
以上，你了解0.9999999999.......=1的内涵了吗:))))))))))))))
注:
(1)
有人会写类似以下这种证明:
令x=0.9999......
=> 10x=9.9999999.....
(下面的式子减上面的式子)=> 9x=9
=> x=1
但事实上这不是证明,因为这论证过程已经假设知道0.999...是什么了(而且还知
道它*10是什么意思囧)
这个过程只是一个能够帮你找到“有理数-分子分母的形式”的算法罢了(像0.878787...
=87/99)
(2)你也可以发现,对于人类来说,我们只能经由“有限”来了解“无限”的概念。
所以你可以看到每一个X_n的9的个数,都是有限的
QQ
作者:
zball (QQ)
2017-10-22 23:48:00就像一般人能同意 1/9 × 9 = 1, 却不能理解1/9 = 0.111循环, 1/9 × 9 = 0.999循环 = 1的事实, 其实9X=9的証明就只是表达这件事而已